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Resolver un problema
MatricesÁlgebra linealUniversidad≈ 1:01

Halla los valores propios de la matriz [4 1; 2 3]

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: λ = 5, 2.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Problema original (inglés): Halla los valores propios de la matriz [4 1; 2 3]

Video en inglés: Descargar MP4 (0.4 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    Halla los valores propios de la matriz [4 1; 2 3]
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[4123]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}
      Plantear la ecuación característica
    2. λ2−(7)λ+(10)=0\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0
      Para una matriz de 2×2 es λ² − (traza)λ + det
    3. p(λ)=λ2−7λ+10p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10
      Polinomio característico
    4. λ=2, λ=5\lambda = 2,\ \lambda = 5
      Raíces racionales halladas con el teorema de las raíces racionales
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. [−112−2] v=0⇒v=⟨1,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle
      Vectores propios para λ = 5: resolver (A − λI)v = 0
    2. [2121] v=0⇒v=⟨−1,2⟩\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle
      Vectores propios para λ = 2: resolver (A − λI)v = 0
  4. 4. La respuesta
    λ=5, 2\lambda = 5,\ 2

    p(λ) roots: 5, 2

  5. 5. Comprobación
    • La suma de los valores propios ≈ 7 coincide con la traza 7.
    • El producto de los valores propios coincide con el determinante 10.

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla los valores propios de la matriz [4 1; 2 3]. Calcular los valores propios y los vectores propios de una matriz de 2 por 2.

Pasos, parte 1. Plantear la ecuación característica. Para una matriz de 2 por 2 es λ al cuadrado menos (traza)λ más det. Polinomio característico. Raíces racionales halladas con el teorema de las raíces racionales.

Pasos, parte 2. Vectores propios para λ es igual a 5: resolver (A menos λI)v es igual a 0. Vectores propios para λ es igual a 2: resolver (A menos λI)v es igual a 0.

La respuesta. Entonces, la respuesta es λ es igual a 5, 2. Los valores propios son las raíces del polinomio característico. Vectores propios: λ es igual a 5: ⟨1, 1⟩; λ es igual a 2: ⟨-1, 2⟩.

Comprobación. La suma de los valores propios aproximadamente 7 coincide con la traza 7. El producto de los valores propios coincide con el determinante 10.

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