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Resolver un problema
Integrales definidasCálculoUniversidad≈ 1:24

Integra 1/(x²+1) desde 0 hasta ∞

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: Converge: π/2 ≈ 1.570796327.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.5 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    ∫0∞1x2+1 dx\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. Se trata de una integral impropia
    2. ∫1x2+1 dx=tan⁡−1(x)\int \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)
      Forma de arcotangente: ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
    3. F(x)=tan⁡−1(x)F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)
      Primitiva
    4. lim⁡x→∞F(x)=π2≈1.570796327,F(0)=0\lim_{x \to \infty} F(x) = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327,\quad F(0) = 0
      Calcular el tramo entre 0 e infinito
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. ∫0∞1x2+1 dx=π2≈1.570796327\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327
      Sumar los tramos
  4. 4. La respuesta
    ∫0∞1x2+1 dx=π2≈1.570796327\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327

    Converges to π/2 ≈ 1.570796327

  5. 5. Comprobación
    • Primitiva verificada derivando ✓
    • Cada límite de la primitiva se ha calculado y comprobado numéricamente con el motor de límites ✓
    • Estimación numérica truncada (deteniéndose a 10⁻⁶ de las asíntotas y en ±1000 para los límites infinitos): 1.5698

Transcripción

El problema. Este es el problema: Integra 1/(x al cuadrado más 1) desde 0 hasta infinito. Calcular la integral impropia de 1 / (x al cuadrado más 1) desde 0 hasta inf.

Pasos, parte 1. Se trata de una integral impropia. Es impropia porque un límite de integración es infinito. Se define como un límite y solo converge si todos los límites son finitos. Forma de arcotangente: la integral de du/(a al cuadrado más u al cuadrado) es igual a (1/a) por arctan(u/a). Primitiva. Calcular el tramo entre 0 e infinito.

Pasos, parte 2. Sumar los tramos. Todos los límites son finitos, así que la integral converge.

La respuesta. Entonces, la respuesta es Converge: pi/2 aproximadamente 1.570796327. Una integral impropia sustituye el punto problemático por una variable, integra de la forma habitual y después toma un límite. Si el límite es finito, la región infinita tiene, aun así, área finita.

Comprobación. Primitiva verificada derivando, y se cumple. Cada límite de la primitiva se ha calculado y comprobado numéricamente con el motor de límites, y se cumple. Estimación numérica truncada (deteniéndose a 10 elevado a menos 6 de las asíntotas y en más o menos 1000 para los límites infinitos): 1.5698.

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