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Resolver un problema
MatricesÁlgebra linealUniversidad≈ 0:49

Inversa de [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: A⁻¹ = [[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]].

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.3 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    [123014560]−1\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0\end{bmatrix}^{-1}
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. det⁡A=1≠0\det A = 1 \neq 0
      Comprobar que el determinante no es cero
    2. [123100014010560001]\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Escribir la matriz ampliada [A | I]
    3. R3→R3−5R1: [1231000140100−4−15−501]R_{3} \to R_{3} - 5R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Anular la columna 1 con el pivote de R1
    4. R1→R1−2R2, R3→R3+4R2: [10−51−20014010001−541]R_{1} \to R_{1} - 2R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 4R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & -5 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Anular la columna 2 con el pivote de R2
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. R1→R1+5R3, R2→R2−4R3: [100−2418501020−15−4001−541]R_{1} \to R_{1} + 5R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - 4R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Anular la columna 3 con el pivote de R3
    2. A−1=[−2418520−15−4−541]A^{-1} = \begin{bmatrix}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      La mitad derecha es ahora la inversa
    3. AA−1=[100010001]A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Comprobación: A·A⁻¹ = I
  4. 4. La respuesta
    A−1=[−2418520−15−4−541]A^{-1} = \begin{bmatrix}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1\end{bmatrix}

    A⁻¹ = [[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]]

  5. 5. Comprobación
    • Al multiplicar A por el resultado se obtiene exactamente la matriz identidad.

Transcripción

El problema. Este es el problema: Inversa de [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]. Calcular la inversa de una matriz de 3 por 3.

Pasos, parte 1. Comprobar que el determinante no es cero. Escribir la matriz ampliada [A | I]. Anular la columna 1 con el pivote de R1. Anular la columna 2 con el pivote de R2.

Pasos, parte 2. Anular la columna 3 con el pivote de R3. La mitad derecha es ahora la inversa. Comprobación: A por A elevado a menos 1 es igual a I.

La respuesta. Entonces, la respuesta es A elevado a menos 1 es igual a [[-24, 18, 5], [20, menos 15, menos 4], [-5, 4, 1]]. El determinante es 1, así que A es invertible. Todos los elementos de la inversa son exactos.

Comprobación. Al multiplicar A por el resultado se obtiene exactamente la matriz identidad.

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