Sistemas de ecuacionesÁlgebraBachillerato≈ 1:31

Resuelve el sistema -2x + y + z = -1, 3x - y + 2z = 9, 3y + 3z = 9

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1. El problema
Ejemplo resuelto
$\begin{cases} -2x+ y+ z = -1 \\ 3x- y+2z = 9 \\ 3y+3z = 9 \end{cases}$
2. Pasos, parte 1
1. $\begin{cases} -2x + y + z = -1 \\ 3x - y + 2z = 9 \\ 3y + 3z = 9 \end{cases}$
  Escribir cada ecuación en forma general
2. $\begin{bmatrix}-2 & 1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 2 & 9 \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  Construir la matriz ampliada [A | b]
3. Eliminación de Gauss-Jordan
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{-2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 3 & -1 & 2 & 9 \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  Dividir R1 entre -2
3. Pasos, parte 2
1. $R_{2} \to R_{2} - 3R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & \frac{15}{2} \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  Anular la columna 1 con el pivote de R1
2. $R_{2} \to \tfrac{1}{\frac{1}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 7 & 15 \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  Dividir R2 entre 1/2
3. $R_{1} \to R_{1} + \frac{1}{2} R_{2},\ R_{3} \to R_{3} - 3R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 7 & 15 \\ 0 & 0 & -18 & -36\end{bmatrix}$
  Anular la columna 2 con el pivote de R2
4. $R_{3} \to \tfrac{1}{-18} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 7 & 15 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$
  Dividir R3 entre -18
4. Pasos, parte 3
1. $R_{1} \to R_{1} - 3R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - 7R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$
  Anular la columna 3 con el pivote de R3
2. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$
  Forma escalonada reducida
3. $x = 2,\ y = 1,\ z = 2$
  Leer la solución única
5. La respuesta
$x = 2,\ y = 1,\ z = 2$
-2x + y + z = -1; 3x - y + 2z = 9; 3y + 3z = 9 ⇒ x = 2, y = 1, z = 2
6. Comprobación
- Ecuación 1: -2x + y + z = -1 ✓
- Ecuación 2: 3x - y + 2z = 9 ✓
- Ecuación 3: 3y + 3z = 9 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Resuelve el sistema menos 2x más y más z es igual a menos 1, 3x menos y más 2z es igual a 9, 3y más 3z es igual a 9. 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas (x, y, z).

Pasos, parte 1. Escribir cada ecuación en forma general. Pasar todos los términos con variables a la izquierda y las constantes a la derecha. Construir la matriz ampliada [A | b]. Columnas: x, y, z | término independiente. Eliminación de Gauss-Jordan. Usar operaciones de fila para que cada pivote sea 1 y anular el resto de su columna. Dividir R1 entre menos 2.

Pasos, parte 2. Anular la columna 1 con el pivote de R1. Dividir R2 entre 1 entre 2. Anular la columna 2 con el pivote de R2. Dividir R3 entre menos 18.

Pasos, parte 3. Anular la columna 3 con el pivote de R3. Forma escalonada reducida. Leer la solución única.

La respuesta. Entonces, la respuesta es x es igual a 2, y es igual a 1, z es igual a 2. El sistema tiene una única solución; al sustituirla se cumplen todas las ecuaciones.

Comprobación. Ecuación 1: menos 2x más y más z es igual a menos 1, y se cumple. Ecuación 2: 3x menos y más 2z es igual a 9, y se cumple. Ecuación 3: 3y más 3z es igual a 9, y se cumple.

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