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Resolver un problema
Sistemas de ecuacionesÁlgebraBachillerato≈ 1:31

Resuelve el sistema -x - 2y = 8, 2y - z = -4, 2x - 3y - 2z = -2

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: x = -4, y = -2, z = 0.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.6 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    {−x−2y=82y−z=−42x−3y−2z=−2\begin{cases} - x-2y = 8 \\ 2y- z = -4 \\ 2x-3y-2z = -2 \end{cases}
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. {−x−2y=82y−z=−42x−3y−2z=−2\begin{cases} -x - 2y = 8 \\ 2y - z = -4 \\ 2x - 3y - 2z = -2 \end{cases}
      Escribir cada ecuación en forma general
    2. [−1−20802−1−42−3−2−2]\begin{bmatrix}-1 & -2 & 0 & 8 \\ 0 & 2 & -1 & -4 \\ 2 & -3 & -2 & -2\end{bmatrix}
      Construir la matriz ampliada [A | b]
    3. Eliminación de Gauss-Jordan
    4. R1→1−1R1: [120−802−1−42−3−2−2]R_{1} \to \tfrac{1}{-1} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & -8 \\ 0 & 2 & -1 & -4 \\ 2 & -3 & -2 & -2\end{bmatrix}
      Dividir R1 entre -1
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. R3→R3−2R1: [120−802−1−40−7−214]R_{3} \to R_{3} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & -8 \\ 0 & 2 & -1 & -4 \\ 0 & -7 & -2 & 14\end{bmatrix}
      Anular la columna 1 con el pivote de R1
    2. R2→12R2: [120−801−12−20−7−214]R_{2} \to \tfrac{1}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -2 \\ 0 & -7 & -2 & 14\end{bmatrix}
      Dividir R2 entre 2
    3. R1→R1−2R2, R3→R3+7R2: [101−401−12−200−1120]R_{1} \to R_{1} - 2R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 7R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -2 \\ 0 & 0 & -\frac{11}{2} & 0\end{bmatrix}
      Anular la columna 2 con el pivote de R2
    4. R3→1−112R3: [101−401−12−20010]R_{3} \to \tfrac{1}{-\frac{11}{2}} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}
      Dividir R3 entre -11/2
  4. 4. Pasos, parte 3
    1. R1→R1−1R3, R2→R2+12R3: [100−4010−20010]R_{1} \to R_{1} - 1R_{3},\ R_{2} \to R_{2} + \frac{1}{2} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}
      Anular la columna 3 con el pivote de R3
    2. [100−4010−20010]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}
      Forma escalonada reducida
    3. x=−4, y=−2, z=0x = -4,\ y = -2,\ z = 0
      Leer la solución única
  5. 5. La respuesta
    x=−4, y=−2, z=0x = -4,\ y = -2,\ z = 0

    -x - 2y = 8; 2y - z = -4; 2x - 3y - 2z = -2 ⇒ x = -4, y = -2, z = 0

  6. 6. Comprobación
    • Ecuación 1: -x - 2y = 8 ✓
    • Ecuación 2: 2y - z = -4 ✓
    • Ecuación 3: 2x - 3y - 2z = -2 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Resuelve el sistema menos x menos 2y es igual a 8, 2y menos z es igual a menos 4, 2x menos 3y menos 2z es igual a menos 2. 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas (x, y, z).

Pasos, parte 1. Escribir cada ecuación en forma general. Pasar todos los términos con variables a la izquierda y las constantes a la derecha. Construir la matriz ampliada [A | b]. Columnas: x, y, z | término independiente. Eliminación de Gauss-Jordan. Usar operaciones de fila para que cada pivote sea 1 y anular el resto de su columna. Dividir R1 entre menos 1.

Pasos, parte 2. Anular la columna 1 con el pivote de R1. Dividir R2 entre 2. Anular la columna 2 con el pivote de R2. Dividir R3 entre menos 11 entre 2.

Pasos, parte 3. Anular la columna 3 con el pivote de R3. Forma escalonada reducida. Leer la solución única.

La respuesta. Entonces, la respuesta es x es igual a menos 4, y es igual a menos 2, z es igual a 0. El sistema tiene una única solución; al sustituirla se cumplen todas las ecuaciones.

Comprobación. Ecuación 1: menos x menos 2y es igual a 8, y se cumple. Ecuación 2: 2y menos z es igual a menos 4, y se cumple. Ecuación 3: 2x menos 3y menos 2z es igual a menos 2, y se cumple.

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