رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله
انتگرال معینحساباندانشگاه≈ 1:24

انتگرال‌گیری از 1/(x²+1) از 0 تا ∞

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: همگرا است: π/2 ≈ 1.570796327.

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

ویدیوی انگلیسی: دانلود MP4 (0.5 MB) · زیرنویس (WebVTT): فارسی · زیرنویس انگلیسی (WebVTT)

گام‌ها روی صفحه

  1. 1. مسئله
    مثال حل‌شده
    ∫0∞1x2+1 dx\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx
  2. 2. گام‌ها، بخش 1
    1. این یک انتگرال ناسره است
    2. ∫1x2+1 dx=tan⁡−1(x)\int \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)
      فرم تانژانت معکوس: ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
    3. F(x)=tan⁡−1(x)F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)
      پادمشتق
    4. lim⁡x→∞F(x)=π2≈1.570796327,F(0)=0\lim_{x \to \infty} F(x) = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327,\quad F(0) = 0
      بخش از 0 تا inf را حساب کنید
  3. 3. گام‌ها، بخش 2
    1. ∫0∞1x2+1 dx=π2≈1.570796327\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327
      بخش‌ها را جمع کنید
  4. 4. جواب
    ∫0∞1x2+1 dx=π2≈1.570796327\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327

    Converges to π/2 ≈ 1.570796327

  5. 5. بررسی
    • پادمشتق با مشتق‌گیری تأیید شد ✓
    • هر حد پادمشتق محاسبه شد و موتور حد آن را به‌طور عددی بررسی کرد ✓
    • برآورد عددی بریده‌شده (با فاصلهٔ 10⁻⁶ از مجانب‌ها و قطع در ±1000 برای حدهای بی‌نهایت): 1.5698

متن کامل

مسئله. این مسئله است: انتگرال‌گیری از 1/(x به توان دو به‌علاوه 1) از 0 تا بی‌نهایت. انتگرال ناسره 1 / (x به توان دو به‌علاوه 1) را از 0 تا inf محاسبه کنید.

گام‌ها، بخش 1. این یک انتگرال ناسره است. ناسره است چون یکی از کران‌های انتگرال‌گیری بی‌نهایت است. به صورت یک حد تعریف می‌شود و فقط وقتی همگراست که همهٔ حدها متناهی باشند. فرم تانژانت معکوس: انتگرال du/(a به توان دو به‌علاوه u به توان دو) مساوی (1/a) ضرب در arctan(u/a). پادمشتق. بخش از 0 تا inf را حساب کنید.

گام‌ها، بخش 2. بخش‌ها را جمع کنید. همهٔ حدها متناهی‌اند، پس انتگرال همگراست.

جواب. پس جواب این است: همگرا است: پی/2 تقریباً 1.570796327. انتگرال ناسره نقطهٔ مشکل‌ساز را با یک متغیر جایگزین می‌کند، به‌طور معمول انتگرال می‌گیرد و سپس حد می‌گیرد. حد متناهی یعنی ناحیهٔ بی‌کران همچنان مساحت متناهی دارد.

بررسی. پادمشتق با مشتق‌گیری تأیید شد، که درست است. هر حد پادمشتق محاسبه شد و موتور حد آن را به‌طور عددی بررسی کرد، که درست است. برآورد عددی بریده‌شده (با فاصلهٔ 10 به توان منهای 6 از مجانب‌ها و قطع در مثبت منفی 1000 برای حدهای بی‌نهایت): 1.5698.

درس‌های مشابه

انتگرال‌گیری از 1/(x²+1) از 0 تا ∞ — درس ویدیویی گام‌به‌گام