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Résoudre un problème
PrimitivesAnalyseUniversité≈ 0:53

Primitive de x sin(x)

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: sin(x) - x·cos(x) + C.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.3 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    ∫xsin⁡(x) dx\int x \sin\left( x\right)\,dx
  2. 2. Étape par étape
    1. ∫xsin⁡(x) dx\int x \sin\left( x\right)\,dx
      Partir de l’intégrale
    2. ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du
      Intégration par parties (méthode du tableau)
    3. ∫xsin⁡(x) dx=sin⁡(x)−xcos⁡(x)\int x \sin\left( x\right)\,dx = \sin\left( x\right)- x \cos\left( x\right)
      Combiner les produits à signes alternés
    4. ∫xsin⁡(x) dx=sin⁡(x)−xcos⁡(x)+C\int x \sin\left( x\right)\,dx = \sin\left( x\right)- x \cos\left( x\right) + C
      Simplifier et ajouter la constante d’intégration
  3. 3. La réponse
    sin⁡(x)−xcos⁡(x)+C\sin\left( x\right)- x \cos\left( x\right) + C

    ∫ x sin(x) dx = sin(x) - x·cos(x) + C

  4. 4. Vérification
    • Résultat dérivé et comparé à la fonction intégrée en 8 points tests ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Primitive de x sin(x). Calculer une primitive (intégrale indéfinie) de x sin(x) par rapport à x.

Étape par étape. Partir de l’intégrale. Intégration par parties (méthode du tableau). Dériver le polynôme x jusqu’à obtenir 0, intégrer sin(x) le même nombre de fois, puis combiner avec des signes alternés. Combiner les produits à signes alternés. Simplifier et ajouter la constante d’intégration.

La réponse. La réponse est donc sin(x) moins x fois cos(x) plus C. Une primitive F vérifie F prime de x égale f(x). Comme la dérivée de toute constante vaut 0, deux primitives diffèrent d’une constante C.

Vérification. Résultat dérivé et comparé à la fonction intégrée en 8 points tests, ce qui est vérifié.

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