Développer et factoriserAlgèbreLycée≈ 1:11

Factoriser x³ + 27

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: (x + 3)(x^2 - 3x + 9).

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$x^{3} + 27$
2. Étapes, partie 1
1. $x^{3} + 27$
  Écrire le polynôme sous forme développée et ordonnée
2. Reconnaître une identité remarquable
3. Appliquer le théorème des racines rationnelles
4. $x^{3} + 27 = (x + 3)\left(x^{2} - 3x + 9\right)$
  Diviser par (x + 3) par division synthétique (méthode de Horner) en x = -3
3. Étapes, partie 2
1. Examiner le facteur du second degré restant
2. $(x + 3)(x^{2} - 3x + 9)$
  Écrire la factorisation complète
4. La réponse
$(x + 3)(x^{2} - 3x + 9)$
x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)
5. Vérification
- En développant (x + 3)(x^2 - 3x + 9), on retrouve x^3 + 27.

Transcription

Le problème. Voici le problème : x au cube plus 27. Factoriser un polynôme sur les rationnels.

Étapes, partie 1. Écrire le polynôme sous forme développée et ordonnée. Reconnaître une identité remarquable. Le facteur restant est une somme de cubes: a au cube plus b au cube égale (a plus b)(a au carré moins ab plus b au carré). Appliquer le théorème des racines rationnelles. Toute racine rationnelle p/q a p divisant le terme constant 27 et q divisant le coefficient dominant 1. Tester ces candidats donne la racine moins 3. Diviser par (x plus 3) par division synthétique (méthode de Horner) en x égale moins 3.

Étapes, partie 2. Examiner le facteur du second degré restant. Son discriminant vaut moins 27, il est négatif: ce facteur est irréductible sur les rationnels. Écrire la factorisation complète.

La réponse. La réponse est donc (x plus 3)(x au carré moins 3x plus 9). x au cube plus 27 se factorise complètement sur les rationnels sous la forme (x plus 3)(x au carré moins 3x plus 9).

Vérification. En développant (x plus 3)(x au carré moins 3x plus 9), on retrouve x au cube plus 27.

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