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Résoudre un problème
MatricesAlgèbre linéaireUniversité≈ 0:50

Calculer le déterminant de [[1,2,0,1],[0,1,3,2],[2,0,1,1],[1,1,1,1]]

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: dét(A) = -2.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    det⁡[1201013220111111]\det \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. A=[1201013220111111]A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}
      Lire la matrice 4×4
    2. Se ramener à une matrice triangulaire supérieure par opérations sur les lignes
    3. [120101320−41−10−110]\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & -4 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0\end{bmatrix}
      Annuler les coefficients sous le pivot de la colonne 1 (ajouter un multiple d’une ligne ne change pas le déterminant)
    4. [12010132001370042]\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 13 & 7 \\ 0 & 0 & 4 & 2\end{bmatrix}
      Annuler les coefficients sous le pivot de la colonne 2 (ajouter un multiple d’une ligne ne change pas le déterminant)
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. [1201013200137000−213]\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 13 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{2}{13}\end{bmatrix}
      Annuler les coefficients sous le pivot de la colonne 3 (ajouter un multiple d’une ligne ne change pas le déterminant)
    2. det⁡A=(1)(1)(13)(−213)=−2\det A = (1)(1)(13)(-\frac{2}{13}) = -2
      Multiplier les coefficients diagonaux de la matrice triangulaire
  4. 4. La réponse
    det⁡A=−2\det A = -2

    det = -2

  5. 5. Vérification
    • Calculé de façon exacte avec des fractions ; le pivot de Gauss donne la même valeur -2.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Calculer le déterminant de [[1,2,0,1],[0,1,3,2],[2,0,1,1],[1,1,1,1]]. Calculer le déterminant d’une matrice 4 fois 4.

Étapes, partie 1. Lire la matrice 4 fois 4. Se ramener à une matrice triangulaire supérieure par opérations sur les lignes. Annuler les coefficients sous le pivot de la colonne 1 (ajouter un multiple d’une ligne ne change pas le déterminant). Annuler les coefficients sous le pivot de la colonne 2 (ajouter un multiple d’une ligne ne change pas le déterminant).

Étapes, partie 2. Annuler les coefficients sous le pivot de la colonne 3 (ajouter un multiple d’une ligne ne change pas le déterminant). Multiplier les coefficients diagonaux de la matrice triangulaire.

La réponse. La réponse est donc dét(A) égale moins 2. Le déterminant vaut moins 2, qui est non nul: la matrice est donc inversible et ses lignes sont linéairement indépendantes.

Vérification. Calculé de façon exacte avec des fractions; le pivot de Gauss donne la même valeur moins 2.

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