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Résoudre un problème
PrimitivesAnalyseUniversité≈ 0:55

Intégrale de sin(x)cos(x)

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: sin(x)²/2 + C.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    ∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \sin\left( x\right) \cos\left( x\right)\,dx
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. ∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \sin\left( x\right) \cos\left( x\right)\,dx
      Partir de l’intégrale
    2. ∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx=∫u1 du\int \sin\left( x\right) \cos\left( x\right)\,dx = \int {u}^{1}\,du
      Substituer u = sin(x), donc du = (cos(x)) dx
    3. ∫u1 du=u22\int {u}^{1}\,du = \frac{{u}^{2}}{2}
      Primitive d’une puissance : ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
    4. ∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx=sin⁡(x)22\int \sin\left( x\right) \cos\left( x\right)\,dx = \frac{{\sin\left( x\right)}^{2}}{2}
      Remplacer par la variable d'origine u = sin(x)
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. ∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx=sin⁡(x)22+C\int \sin\left( x\right) \cos\left( x\right)\,dx = \frac{{\sin\left( x\right)}^{2}}{2} + C
      Simplifier et ajouter la constante d’intégration
  4. 4. La réponse
    sin⁡(x)22+C\frac{{\sin\left( x\right)}^{2}}{2} + C

    ∫ sin(x) cos(x) dx = sin(x)²/2 + C

  5. 5. Vérification
    • Résultat dérivé et comparé à la fonction intégrée en 8 points tests ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Intégrale de sin(x) cos(x). Calculer une primitive (intégrale indéfinie) de sin(x) cos(x) par rapport à x.

Étapes, partie 1. Partir de l’intégrale. Substituer u égale sin(x), donc du égale (cos(x)) dx. Primitive d’une puissance: l'intégrale de x puissance n dx égale x puissance n plus 1/(n plus 1). Remplacer par la variable d prime origine u égale sin(x).

Étapes, partie 2. Simplifier et ajouter la constante d’intégration.

La réponse. La réponse est donc sin(x) au carré/2 plus C. Une primitive F vérifie F prime de x égale f(x). Comme la dérivée de toute constante vaut 0, deux primitives diffèrent d’une constante C.

Vérification. Résultat dérivé et comparé à la fonction intégrée en 8 points tests, ce qui est vérifié.

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