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Résoudre un problème
PrimitivesAnalyseUniversité≈ 1:12

Intégrer cos(x)³

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: sin(x) - sin(x)³/3 + C.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.5 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    ∫cos⁡(x)3 dx\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. ∫cos⁡(x)3 dx\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx
      Partir de l’intégrale
    2. cos3(x)=1cos⁡(x)sin⁡(x)0+−1cos⁡(x)sin⁡(x)2cos^{3}( x) = 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}+-1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{2}
      Puissance impaire : écrire cos^3 u = cos u · (1 − sin² u)^1, puis substituer u = sin
    3. ∫1cos⁡(x)sin⁡(x)0 dx=∫u0 du\int 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}\,dx = \int {u}^{0}\,du
      Substituer u = sin(x), donc du = (cos(x)) dx
    4. ∫u0 du=u\int {u}^{0}\,du = u
      Primitive d’une puissance : ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. ∫1cos⁡(x)sin⁡(x)0 dx=sin⁡(x)\int 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}\,dx = \sin\left( x\right)
      Remplacer par la variable d'origine u = sin(x)
    2. ∫−1cos⁡(x)sin⁡(x)2 dx=−1∫u2 du\int -1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx = -1\int {u}^{2}\,du
      Substituer u = sin(x), donc du = (cos(x)) dx
    3. ∫cos⁡(x)3 dx=sin⁡(x)−sin⁡(x)33\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx = \sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3}
      Intégrer terme à terme
    4. ∫cos⁡(x)3 dx=sin⁡(x)−sin⁡(x)33+C\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx = \sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3} + C
      Simplifier et ajouter la constante d’intégration
  4. 4. La réponse
    sin⁡(x)−sin⁡(x)33+C\sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3} + C

    ∫ cos(x)³ dx = sin(x) - sin(x)³/3 + C

  5. 5. Vérification
    • Résultat dérivé et comparé à la fonction intégrée en 8 points tests ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Intégrer cos(x) au cube. Calculer une primitive (intégrale indéfinie) de cos(x) au cube par rapport à x.

Étapes, partie 1. Partir de l’intégrale. Puissance impaire: écrire cos au cube u égale cos u fois (1 moins sin au carré u) puissance 1, puis substituer u égale sin. Substituer u égale sin(x), donc du égale (cos(x)) dx. Primitive d’une puissance: l'intégrale de x puissance n dx égale x puissance n plus 1/(n plus 1).

Étapes, partie 2. Remplacer par la variable d prime origine u égale sin(x). Substituer u égale sin(x), donc du égale (cos(x)) dx. Intégrer terme à terme. Simplifier et ajouter la constante d’intégration.

La réponse. La réponse est donc sin(x) moins sin(x) au cube/3 plus C. Une primitive F vérifie F prime de x égale f(x). Comme la dérivée de toute constante vaut 0, deux primitives diffèrent d’une constante C.

Vérification. Résultat dérivé et comparé à la fonction intégrée en 8 points tests, ce qui est vérifié.

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