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Résoudre un problème
MatricesAlgèbre linéaireUniversité≈ 0:49

Inverse de [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: A⁻¹ = [[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]].

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.3 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    [123014560]−1\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0\end{bmatrix}^{-1}
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. det⁡A=1≠0\det A = 1 \neq 0
      Vérifier que le déterminant est non nul
    2. [123100014010560001]\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Écrire la matrice augmentée [A | I]
    3. R3→R3−5R1: [1231000140100−4−15−501]R_{3} \to R_{3} - 5R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1
    4. R1→R1−2R2, R3→R3+4R2: [10−51−20014010001−541]R_{1} \to R_{1} - 2R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 4R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & -5 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Annuler la colonne 2 à l’aide du pivot de R2
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. R1→R1+5R3, R2→R2−4R3: [100−2418501020−15−4001−541]R_{1} \to R_{1} + 5R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - 4R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Annuler la colonne 3 à l’aide du pivot de R3
    2. A−1=[−2418520−15−4−541]A^{-1} = \begin{bmatrix}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      La moitié droite est maintenant l’inverse
    3. AA−1=[100010001]A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Vérification : A·A⁻¹ = I
  4. 4. La réponse
    A−1=[−2418520−15−4−541]A^{-1} = \begin{bmatrix}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1\end{bmatrix}

    A⁻¹ = [[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]]

  5. 5. Vérification
    • Multiplier A par le résultat donne exactement la matrice identité.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Inverse de [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]. Calculer l’inverse d’une matrice 3 fois 3.

Étapes, partie 1. Vérifier que le déterminant est non nul. Écrire la matrice augmentée [A | I]. Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1. Annuler la colonne 2 à l’aide du pivot de R2.

Étapes, partie 2. Annuler la colonne 3 à l’aide du pivot de R3. La moitié droite est maintenant l’inverse. Vérification: A fois A puissance moins 1 égale I.

La réponse. La réponse est donc A puissance moins 1 égale [[-24, 18, 5], [20, moins 15, moins 4], [-5, 4, 1]]. Le déterminant vaut 1, donc A est inversible. Tous les coefficients de l’inverse sont exacts.

Vérification. Multiplier A par le résultat donne exactement la matrice identité.

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