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Résoudre un problème
TrianglesGéométrieLycée≈ 2:01

Deux côtés d'un triangle mesurent 10 et 12 avec un angle de 75° entre eux. Trouver le troisième côté

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: c ≈ 13.486416; A ≈ 45.743376°, B ≈ 59.256624°.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Problème original (anglais) : Deux côtés d'un triangle mesurent 10 et 12 avec un angle de 75° entre eux. Trouver le troisième côté

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.8 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    Deux côtés d'un triangle mesurent 10 et 12 avec un angle de 75° entre eux. Trouver le troisième côté
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. c2=102+122−2(10)(12)cos⁡75∘≈181.88343c^2 = 10^2 + 12^2 - 2(10)(12)\cos 75^\circ \approx 181.88343
      Substituer dans c² = a² + b² − 2ab·cos C
    2. c≈13.486416c \approx 13.486416
      Prendre la racine carrée
    3. cos⁡A=b2+c2−a22bc≈0.69787327⇒A≈45.743376∘\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.69787327 \Rightarrow A \approx 45.743376^\circ
      Trouver l’angle A avec la formule d’Al-Kashi réarrangée
    4. B=180∘−A−C≈59.256624∘B = 180^\circ - A - C \approx 59.256624^\circ
      La somme des angles d’un triangle vaut 180°
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. Aire=12absin⁡C≈57.95555\text{Aire} = \tfrac12ab\sin C \approx 57.95555
      Aire à partir de deux côtés et de l’angle compris
  4. 4. La réponse
    c ≈ 13.486416; A ≈ 45.743376°, B ≈ 59.256624°\text{c ≈ 13.486416; A ≈ 45.743376°, B ≈ 59.256624°}

    c ≈ 13.486416; A ≈ 45.743376°, B ≈ 59.256624°

  5. 5. Vérification
    • A + B + C = 180°.
    • La formule de Héron donne la même aire : 57.95555.
    • Rapports de la loi des sinus : a/sin A ≈ 13.962166, b/sin B ≈ 13.962166, c/sin C ≈ 13.962166.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Deux côtés d prime un triangle mesurent 10 et 12 avec un angle de 75° entre eux. Trouver le troisième côté. Deux côtés et l’angle compris: trouver le troisième côté et les angles restants.

Étapes, partie 1. Substituer dans c au carré égale a au carré plus b au carré moins 2ab fois cos C. Prendre la racine carrée. Trouver l’angle A avec la formule d’Al-Kashi réarrangée. La somme des angles d’un triangle vaut 180°.

Étapes, partie 2. Aire à partir de deux côtés et de l’angle compris.

La réponse. La réponse est donc c environ 13.486416; A environ 45.743376°, B environ 59.256624°. Le triangle a pour côtés a égale 10, b égale 12, c environ 13.486416 et pour angles A environ 45.743376°, B environ 59.256624°, C environ 75°. C’est un triangle quelconque acutangle d’aire environ 57.95555 et de périmètre environ 35.486416.

Vérification. A plus B plus C égale 180°. La formule de Héron donne la même aire: 57.95555. Rapports de la loi des sinus: a/sin A environ 13.962166, b/sin B environ 13.962166, c/sin C environ 13.962166.

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