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Résoudre un problème
TrianglesGéométrieLycée≈ 2:05

Deux côtés d'un triangle mesurent 3 et 8 avec un angle de 45° entre eux. Trouver le troisième côté

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: c ≈ 6.24971; A ≈ 19.841968°, B ≈ 115.15803°.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Problème original (anglais) : Deux côtés d'un triangle mesurent 3 et 8 avec un angle de 45° entre eux. Trouver le troisième côté

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.8 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    Deux côtés d'un triangle mesurent 3 et 8 avec un angle de 45° entre eux. Trouver le troisième côté
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. c2=32+82−2(3)(8)cos⁡45∘≈39.058875c^2 = 3^2 + 8^2 - 2(3)(8)\cos 45^\circ \approx 39.058875
      Substituer dans c² = a² + b² − 2ab·cos C
    2. c≈6.24971c \approx 6.24971
      Prendre la racine carrée
    3. cos⁡A=b2+c2−a22bc≈0.9406324⇒A≈19.841968∘\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.9406324 \Rightarrow A \approx 19.841968^\circ
      Trouver l’angle A avec la formule d’Al-Kashi réarrangée
    4. B=180∘−A−C≈115.15803∘B = 180^\circ - A - C \approx 115.15803^\circ
      La somme des angles d’un triangle vaut 180°
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. Aire=12absin⁡C≈8.4852814\text{Aire} = \tfrac12ab\sin C \approx 8.4852814
      Aire à partir de deux côtés et de l’angle compris
  4. 4. La réponse
    c ≈ 6.24971; A ≈ 19.841968°, B ≈ 115.15803°\text{c ≈ 6.24971; A ≈ 19.841968°, B ≈ 115.15803°}

    c ≈ 6.24971; A ≈ 19.841968°, B ≈ 115.15803°

  5. 5. Vérification
    • A + B + C = 180°.
    • La formule de Héron donne la même aire : 8.4852814.
    • Rapports de la loi des sinus : a/sin A ≈ 8.8384246, b/sin B ≈ 8.8384246, c/sin C ≈ 8.8384246.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Deux côtés d prime un triangle mesurent 3 et 8 avec un angle de 45° entre eux. Trouver le troisième côté. Deux côtés et l’angle compris: trouver le troisième côté et les angles restants.

Étapes, partie 1. Substituer dans c au carré égale a au carré plus b au carré moins 2ab fois cos C. Prendre la racine carrée. Trouver l’angle A avec la formule d’Al-Kashi réarrangée. La somme des angles d’un triangle vaut 180°.

Étapes, partie 2. Aire à partir de deux côtés et de l’angle compris.

La réponse. La réponse est donc c environ 6.24971; A environ 19.841968°, B environ 115.15803°. Le triangle a pour côtés a égale 3, b égale 8, c environ 6.24971 et pour angles A environ 19.841968°, B environ 115.15803°, C environ 45°. C’est un triangle quelconque obtusangle d’aire environ 8.4852814 et de périmètre environ 17.24971.

Vérification. A plus B plus C égale 180°. La formule de Héron donne la même aire: 8.4852814. Rapports de la loi des sinus: a/sin A environ 8.8384246, b/sin B environ 8.8384246, c/sin C environ 8.8384246.

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