TrianglesGéométrieLycée≈ 2:12

Deux côtés d'un triangle mesurent 6 et 9 avec un angle de 120° entre eux. Trouver le troisième côté

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: c = 3√19 ≈ 13.07669683; A ≈ 23.413224°, B ≈ 36.586776°.

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Problème original (anglais) : Deux côtés d'un triangle mesurent 6 et 9 avec un angle de 120° entre eux. Trouver le troisième côté

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
Deux côtés d'un triangle mesurent 6 et 9 avec un angle de 120° entre eux. Trouver le troisième côté
2. Étapes, partie 1
1. $c^2 = 6^2 + 9^2 - 2(6)(9)\cos 120^\circ = 171$
  Substituer dans c² = a² + b² − 2ab·cos C
2. $c = \sqrt{171} = 3\sqrt{19} \approx 13.07669683$
  Prendre la racine carrée
3. $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.91766294 \Rightarrow A \approx 23.413224^\circ$
  Trouver l’angle A avec la formule d’Al-Kashi réarrangée
4. $B = 180^\circ - A - C \approx 36.586776^\circ$
  La somme des angles d’un triangle vaut 180°
3. Étapes, partie 2
1. $\text{Aire} = \tfrac12ab\sin C \approx 23.382686$
  Aire à partir de deux côtés et de l’angle compris
4. La réponse
$\text{c = 3√19 ≈ 13.07669683; A ≈ 23.413224°, B ≈ 36.586776°}$
c = 3√19 ≈ 13.07669683; A ≈ 23.413224°, B ≈ 36.586776°
5. Vérification
- A + B + C = 180°.
- La formule de Héron donne la même aire : 23.382686.
- Rapports de la loi des sinus : a/sin A ≈ 15.099669, b/sin B ≈ 15.099669, c/sin C ≈ 15.099669.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Deux côtés d prime un triangle mesurent 6 et 9 avec un angle de 120° entre eux. Trouver le troisième côté. Deux côtés et l’angle compris: trouver le troisième côté et les angles restants.

Étapes, partie 1. Substituer dans c au carré égale a au carré plus b au carré moins 2ab fois cos C. Prendre la racine carrée. Trouver l’angle A avec la formule d’Al-Kashi réarrangée. La somme des angles d’un triangle vaut 180°.

Étapes, partie 2. Aire à partir de deux côtés et de l’angle compris.

La réponse. La réponse est donc c égale 3la racine carrée de 19 environ 13.07669683; A environ 23.413224°, B environ 36.586776°. Le triangle a pour côtés a égale 6, b égale 9, c environ 13.076697 et pour angles A environ 23.413224°, B environ 36.586776°, C environ 120°. C’est un triangle quelconque obtusangle d’aire environ 23.382686 et de périmètre environ 28.076697.

Vérification. A plus B plus C égale 180°. La formule de Héron donne la même aire: 23.382686. Rapports de la loi des sinus: a/sin A environ 15.099669, b/sin B environ 15.099669, c/sin C environ 15.099669.

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Transcription

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