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Résoudre un problème
TrianglesGéométrieLycée≈ 2:06

Deux côtés d'un triangle mesurent 5 et 7 avec un angle de 60° entre eux. Trouver le troisième côté

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Problème original (anglais) : Deux côtés d'un triangle mesurent 5 et 7 avec un angle de 60° entre eux. Trouver le troisième côté

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.8 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    Deux côtés d'un triangle mesurent 5 et 7 avec un angle de 60° entre eux. Trouver le troisième côté
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. c2=52+72−2(5)(7)cos⁡60∘=39c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39
      Substituer dans c² = a² + b² − 2ab·cos C
    2. c=39=39≈6.244997998c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998
      Prendre la racine carrée
    3. cos⁡A=b2+c2−a22bc≈0.72057669⇒A≈43.897886∘\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ
      Trouver l’angle A avec la formule d’Al-Kashi réarrangée
    4. B=180∘−A−C≈76.102114∘B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ
      La somme des angles d’un triangle vaut 180°
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. Aire=12absin⁡C≈15.155445\text{Aire} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445
      Aire à partir de deux côtés et de l’angle compris
  4. 4. La réponse
    c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°\text{c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°}

    c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

  5. 5. Vérification
    • A + B + C = 180°.
    • La formule de Héron donne la même aire : 15.155445.
    • Rapports de la loi des sinus : a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Deux côtés d prime un triangle mesurent 5 et 7 avec un angle de 60° entre eux. Trouver le troisième côté. Deux côtés et l’angle compris: trouver le troisième côté et les angles restants.

Étapes, partie 1. Substituer dans c au carré égale a au carré plus b au carré moins 2ab fois cos C. Prendre la racine carrée. Trouver l’angle A avec la formule d’Al-Kashi réarrangée. La somme des angles d’un triangle vaut 180°.

Étapes, partie 2. Aire à partir de deux côtés et de l’angle compris.

La réponse. La réponse est donc c égale la racine carrée de 39 environ 6.244997998; A environ 43.897886°, B environ 76.102114°. Le triangle a pour côtés a égale 5, b égale 7, c environ 6.244998 et pour angles A environ 43.897886°, B environ 76.102114°, C environ 60°. C’est un triangle quelconque acutangle d’aire environ 15.155445 et de périmètre environ 18.244998.

Vérification. A plus B plus C égale 180°. La formule de Héron donne la même aire: 15.155445. Rapports de la loi des sinus: a/sin A environ 7.2111026, b/sin B environ 7.2111026, c/sin C environ 7.2111026.

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