Langsung ke konten
MathSolver Pro
  • Buka pemecah matematika
  • Tanya tutor AI
  • Cari kursus AP
  • Buat kuis
  • Buka kalkulator
  • Kalkulator grafik
  • Lihat semua kalkulator
  • Baca panduan matematika
↑ ↓Enter untuk membuka · Esc untuk menutup
Selesaikan soal
Barisan dan deretAljabarPerguruan tinggi≈ 2:47

Evaluasi jumlah dari 1/n⁴ dari n=1 sampai ∞

Pelajaran animasi langkah demi langkah. Tekan Putar untuk menonton setiap langkah dengan teks, atau baca langkah dan transkrip di bawah. Jawaban: Deret konvergen (uji banding limit dengan Σ 1/n^4); jumlah ≈ 1.082323234 (cocok dengan π⁴/90 hingga 10+ digit).

Video rekaman: suara dan tulisan di dalam gambar menggunakan bahasa Inggris. Subtitel: Bahasa Indonesia. Untuk narasi dalam bahasa ini, buka versi interaktif.

Video bahasa Inggris: Unduh MP4 (1.0 MB) · Subtitel (WebVTT): Bahasa Indonesia · Takarir bahasa Inggris (WebVTT)

Langkah di layar

  1. 1. Soal
    Contoh soal
    ∑n=1∞1n4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}}
  2. 2. Langkah demi langkah
    1. ∑n=1∞1n4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}}
      Tulis deretnya
    2. lim⁡n→∞1n4=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{4}} = 0
      Uji suku ke-n
    3. lim⁡n→∞an1/n4=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{4}} = 1
      Uji perbandingan limit dengan deret-p
    4. Perkirakan jumlahnya secara numerik
  3. 3. Jawaban
    ∑n=1∞1n4 konvergen≈1.082323234\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}} \ \text{konvergen} \approx 1.082323234

    limit comparison with Σ 1/n^4 ⇒ converges, S ≈ 1.082323234 (matches π⁴/90 to 10+ digits)

  4. 4. Pemeriksaan
    • Jumlah parsial (bukti pendukung, bukan pembuktian): S₁₀ = 1.0820366, S₁₀₀ = 1.0823229, S₁₀₀₀ = 1.0823232, S₁₀₀₀₀ = 1.0823232

Transkrip

Soal. Ini soalnya: Evaluasi jumlah dari 1/n pangkat 4 dari n sama dengan 1 sampai tak hingga. Tentukan apakah Σ 1 / n pangkat 4 (n dari 1 sampai ∞) konvergen atau divergen.

Langkah demi langkah. Tulis deretnya. Σ a(n) untuk n sama dengan 1, 2, 3, … dengan a(n) sama dengan 1 / n pangkat 4. Suku-suku pertama: 1, 0.0625, 0.0123457, 0.00390625, …. Uji suku ke-n. lim a(n) sama dengan 0, sehingga uji divergensi tidak memberi kesimpulan; suku-sukunya memang mengecil, jadi diperlukan uji yang lebih halus. Uji perbandingan limit dengan deret-p. Suku positif: suku-sukunya mengecil kira-kira seperti 1/n pangkat 4 (diperkirakan dari a(2N)/a(N)), jadi bandingkan dengan Σ 1/n pangkat 4: lim a(n) kali n pangkat 4 sama dengan 1. Limitnya bilangan positif berhingga, sehingga deret ini berperilaku persis seperti deret-p Σ 1/n pangkat 4, yang konvergen karena p lebih dari 1. Perkirakan jumlahnya secara numerik. Jumlah parsial S N dihitung untuk beberapa N dan diekstrapolasi ke N → ∞ (ekstrapolasi Richardson; untuk suku berganti tanda, dirata-ratakan dahulu). Dua ekstrapolasi independen sepakat lebih baik dari 10 pangkat kurang 10, menghasilkan S kira-kira 1.082323234. Bentuk tertutup yang ditampilkan adalah identifikasi numerik, bukan bukti.

Jawaban. Jadi jawabannya adalah Deret konvergen (uji banding limit dengan Σ 1/n pangkat 4; jumlah kira-kira 1.082323234 (cocok dengan pi pangkat 4 per 90 hingga 10+ digit). Deret konvergen jika jumlah parsialnya mendekati suatu bilangan berhingga. Agar itu terjadi, suku-sukunya harus menuju 0, tetapi itu saja belum cukup (deret harmonik divergen), sehingga digunakan uji perbandingan, uji rasio, uji akar, uji deret berganti tanda, atau uji integral untuk memutuskannya.

Pemeriksaan. Jumlah parsial (bukti pendukung, bukan pembuktian): S₁₀ sama dengan 1.0820366, S₁₀₀ sama dengan 1.0823229, S₁₀₀₀ sama dengan 1.0823232, S₁₀₀₀₀ sama dengan 1.0823232.

Pelajaran serupa

Evaluasi jumlah dari 1/n⁴ dari n=1 sampai ∞ — video pelajaran langkah demi langkah