Barisan dan deretAljabarPerguruan tinggi≈ 3:06

Evaluasi jumlah dari (-1)ⁿ/n dari n=1 sampai ∞

Pelajaran animasi langkah demi langkah. Tekan Putar untuk menonton setiap langkah dengan teks, atau baca langkah dan transkrip di bawah. Jawaban: Deret konvergen bersyarat (uji deret selang-seling); jumlah ≈ -0.6931471806 (cocok dengan −ln(2) hingga 10+ digit).

KecepatanBahasa

Bab

Transkrip

Video rekaman: suara dan tulisan di dalam gambar menggunakan bahasa Inggris. Subtitel: Bahasa Indonesia. Untuk narasi dalam bahasa ini, buka versi interaktif.

Video bahasa Inggris: Unduh MP4 (1.1 MB) · Subtitel (WebVTT): Bahasa Indonesia · Takarir bahasa Inggris (WebVTT)

Langkah di layar

1. Soal
Contoh soal
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
2. Langkah, bagian 1
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
  Tulis deretnya
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$
  Uji suku ke-n
3. Uji deret berganti tanda
4. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1$
  Uji perbandingan limit dengan deret-p
3. Langkah, bagian 2
1. Mutlak atau bersyarat?
2. Perkirakan jumlahnya secara numerik
4. Jawaban
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n} \ \text{konvergen bersyarat} \approx -0.6931471806$
alternating series test ⇒ converges conditionally, S ≈ -0.6931471806 (matches −ln(2) to 10+ digits)
5. Pemeriksaan
- Jumlah parsial (bukti pendukung, bukan pembuktian): S₁₀ = -0.64563492, S₁₀₀ = -0.68817218, S₁₀₀₀ = -0.69264743, S₁₀₀₀₀ = -0.69309718

Transkrip

Soal. Ini soalnya: Evaluasi jumlah dari (negatif 1) pangkat n/n dari n sama dengan 1 sampai tak hingga. Tentukan apakah Σ (negatif 1) pangkat n / n (n dari 1 sampai ∞) konvergen atau divergen.

Langkah, bagian 1. Tulis deretnya. Σ a(n) untuk n sama dengan 1, 2, 3, … dengan a(n) sama dengan (negatif 1) pangkat n / n. Suku-suku pertama: negatif 1, 0.5, negatif 0.333333, 0.25, …. Uji suku ke-n. lim |a(n)| sama dengan 0, sehingga uji divergensi tidak memberi kesimpulan; suku-sukunya memang mengecil, jadi diperlukan uji yang lebih halus. Uji deret berganti tanda. Tandanya berganti-ganti dan besarnya b(n) sama dengan 1 / n menurun (diperiksa pada 310 indeks hingga 10 pangkat 6) serta menuju 0, sehingga deretnya konvergen. Uji perbandingan limit dengan deret-p. Nilai mutlak Σ 1 / n: suku-sukunya mengecil kira-kira seperti 1/n (diperkirakan dari a(2N)/a(N)), jadi bandingkan dengan Σ 1/n: lim a(n) kali n sama dengan 1. Limitnya bilangan positif berhingga, sehingga deret ini berperilaku persis seperti deret-p Σ 1/n, yang divergen karena p kurang dari atau sama dengan 1.

Langkah, bagian 2. Mutlak atau bersyarat?. Σ |a(n)| divergen (perbandingan limit dengan Σ 1/n), sehingga deretnya hanya konvergen bersyarat. Perkirakan jumlahnya secara numerik. Jumlah parsial S N dihitung untuk beberapa N dan diekstrapolasi ke N → ∞ (ekstrapolasi Richardson; untuk suku berganti tanda, dirata-ratakan dahulu). Dua ekstrapolasi independen sepakat lebih baik dari 10 pangkat kurang 10, menghasilkan S kira-kira negatif 0.6931471806. Bentuk tertutup yang ditampilkan adalah identifikasi numerik, bukan bukti.

Jawaban. Jadi jawabannya adalah Deret konvergen bersyarat (uji deret selang-seling); jumlah kira-kira negatif 0.6931471806 (cocok dengan negatif ln(2) hingga 10+ digit). Deret konvergen jika jumlah parsialnya mendekati suatu bilangan berhingga. Agar itu terjadi, suku-sukunya harus menuju 0, tetapi itu saja belum cukup (deret harmonik divergen), sehingga digunakan uji perbandingan, uji rasio, uji akar, uji deret berganti tanda, atau uji integral untuk memutuskannya.

Pemeriksaan. Jumlah parsial (bukti pendukung, bukan pembuktian): S₁₀ sama dengan negatif 0.64563492, S₁₀₀ sama dengan negatif 0.68817218, S₁₀₀₀ sama dengan negatif 0.69264743, S₁₀₀₀₀ sama dengan negatif 0.69309718.

Langkah di layar

Transkrip

Pelajaran serupa