Integral tentuKalkulusPerguruan tinggi≈ 1:24

Integralkan 1/(x²+1) dari 0 sampai ∞

Pelajaran animasi langkah demi langkah. Tekan Putar untuk menonton setiap langkah dengan teks, atau baca langkah dan transkrip di bawah. Jawaban: Konvergen: π/2 ≈ 1.570796327.

KecepatanBahasa

Bab

Transkrip

Video rekaman: suara dan tulisan di dalam gambar menggunakan bahasa Inggris. Subtitel: Bahasa Indonesia. Untuk narasi dalam bahasa ini, buka versi interaktif.

Video bahasa Inggris: Unduh MP4 (0.5 MB) · Subtitel (WebVTT): Bahasa Indonesia · Takarir bahasa Inggris (WebVTT)

Langkah di layar

1. Soal
Contoh soal
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx$
2. Langkah, bagian 1
1. Ini integral tak wajar
2. $\int \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Bentuk tangen invers: ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
3. $F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Antiturunan
4. $\lim_{x \to \infty} F(x) = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327,\quad F(0) = 0$
  Hitung bagian dari 0 sampai inf
3. Langkah, bagian 2
1. $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327$
  Jumlahkan bagian-bagiannya
4. Jawaban
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327$
Converges to π/2 ≈ 1.570796327
5. Pemeriksaan
- Antiturunan diverifikasi dengan penurunan ✓
- Setiap limit antiturunan dihitung dan diperiksa secara numerik oleh mesin limit ✓
- Taksiran numerik terpotong (berhenti pada jarak 10⁻⁶ dari asimtot dan di ±1000 untuk batas tak hingga): 1.5698

Transkrip

Soal. Ini soalnya: Integralkan 1/(x kuadrat tambah 1) dari 0 sampai tak hingga. Hitung integral tak wajar dari 1 / (x kuadrat tambah 1) dari 0 sampai inf.

Langkah, bagian 1. Ini integral tak wajar. Integral ini tak wajar karena salah satu batas integrasinya tak hingga. Integral ini didefinisikan sebagai limit dan konvergen hanya jika setiap limitnya berhingga. Bentuk tangen invers: integral dari du/(a kuadrat tambah u kuadrat) sama dengan (1/a) kali arctan(u/a). Antiturunan. Hitung bagian dari 0 sampai inf.

Langkah, bagian 2. Jumlahkan bagian-bagiannya. Setiap limit berhingga, sehingga integralnya konvergen.

Jawaban. Jadi jawabannya adalah Konvergen: pi/2 kira-kira 1.570796327. Integral tak wajar mengganti titik bermasalah dengan suatu variabel, mengintegralkan seperti biasa, lalu mengambil limitnya. Limit yang berhingga berarti daerah yang tak terbatas itu tetap memiliki luas berhingga.

Pemeriksaan. Antiturunan diverifikasi dengan penurunan, dan itu benar. Setiap limit antiturunan dihitung dan diperiksa secara numerik oleh mesin limit, dan itu benar. Taksiran numerik terpotong (berhenti pada jarak 10 pangkat kurang 6 dari asimtot dan di plus minus 1000 untuk batas tak hingga): 1.5698.

Langkah di layar

Transkrip

Pelajaran serupa