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Resolver um problema
Identidades trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:13

cos(2x) = 1 - 2sin(x)² é uma identidade?

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A identidade é verdadeira (para todo valor onde ambos os lados estão definidos)..

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    cos⁡(2x)=1−2sin⁡(x)2\cos\left(2x\right) = 1-2 {\sin\left( x\right)}^{2}
  2. 2. Passos, parte 1
    1. sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x,cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\sin(2x) = 2\sin x\cos x,\quad \cos(2x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x
      Reescrever tudo em função de sin x e cos x
    2. −2sin⁡2x+1-2\sin^{2} x + 1
      Lado esquerdo em seno e cosseno
    3. −2sin⁡2x+1-2\sin^{2} x + 1
      Lado direito em seno e cosseno
    4. lado esquerdo−lado direito=ND,N=cos⁡2x+sin⁡2x−1\text{lado esquerdo} - \text{lado direito} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 1
      Subtrair os lados e escrever a diferença com um denominador comum
  3. 3. Passos, parte 2
    1. N=0N = 0
      Substituir cada cos²x por 1 − sin²x e juntar os termos
    2. O numerador é identicamente nulo
  4. 4. A resposta
    cos⁡(2x)≡1−2sin⁡(x)2\cos\left(2x\right) \equiv 1-2 {\sin\left( x\right)}^{2}

    LHS − RHS reduces to 0

  5. 5. Verificação
    • Verificação numérica em 10 valores de teste: os dois lados coincidem.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: cos(2x) igual a 1 menos 2sin(x) ao quadrado é uma identidade? Demonstrar uma identidade trigonométrica.

Passos, parte 1. Reescrever tudo em função de sin x e cos x. Identidades usadas:. Lado esquerdo em seno e cosseno. Lado direito em seno e cosseno. Subtrair os lados e escrever a diferença com um denominador comum. A identidade é verdadeira exatamente quando este numerador é zero para todo valor da variável.

Passos, parte 2. Substituir cada cos ao quadradox por 1 menos sin ao quadradox e juntar os termos. O numerador é identicamente nulo. Todos os termos se cancelam depois de usar sin ao quadrado mais cos ao quadrado igual a 1, então os dois lados são iguais onde quer que estejam definidos.

A resposta. Portanto, a resposta é A identidade é verdadeira (para todo valor onde ambos os lados estão definidos). Depois de reescrever os dois lados com senos e cossenos e substituir cos ao quadrado por 1 menos sin ao quadrado, a diferença entre os dois lados vale exatamente 0, então cos(2x) igual a 1 menos 2sin(x) ao quadrado é verdadeira para todo x em que os dois lados estão definidos.

Verificação. Verificação numérica em 10 valores de teste: os dois lados coincidem.

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