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Resolver um problema
Identidades trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:13

cot(x) + tan(x) = sec(x)csc(x) é uma identidade?

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A identidade é verdadeira (para todo valor onde ambos os lados estão definidos)..

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    cot⁡(x)+tan⁡(x)=sec⁡(x)csc⁡(x)\cot\left( x\right)+\tan\left( x\right) = \sec\left( x\right) \csc\left( x\right)
  2. 2. Passos, parte 1
    1. cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta},\quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
      Reescrever tudo em função de sin x e cos x
    2. 1sin⁡xcos⁡x\frac{1}{\sin x\cos x}
      Lado esquerdo em seno e cosseno
    3. 1sin⁡xcos⁡x\frac{1}{\sin x\cos x}
      Lado direito em seno e cosseno
    4. lado esquerdo−lado direito=ND,N=cos⁡2x+sin⁡2x−1\text{lado esquerdo} - \text{lado direito} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 1
      Subtrair os lados e escrever a diferença com um denominador comum
  3. 3. Passos, parte 2
    1. N=0N = 0
      Substituir cada cos²x por 1 − sin²x e juntar os termos
    2. O numerador é identicamente nulo
  4. 4. A resposta
    cot⁡(x)+tan⁡(x)≡sec⁡(x)csc⁡(x)\cot\left( x\right)+\tan\left( x\right) \equiv \sec\left( x\right) \csc\left( x\right)

    LHS − RHS reduces to 0

  5. 5. Verificação
    • Verificação numérica em 10 valores de teste: os dois lados coincidem.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: cot(x) mais tan(x) igual a sec(x)csc(x) é uma identidade? Demonstrar uma identidade trigonométrica.

Passos, parte 1. Reescrever tudo em função de sin x e cos x. Identidades usadas:. Lado esquerdo em seno e cosseno. Lado direito em seno e cosseno. Subtrair os lados e escrever a diferença com um denominador comum. A identidade é verdadeira exatamente quando este numerador é zero para todo valor da variável.

Passos, parte 2. Substituir cada cos ao quadradox por 1 menos sin ao quadradox e juntar os termos. O numerador é identicamente nulo. Todos os termos se cancelam depois de usar sin ao quadrado mais cos ao quadrado igual a 1, então os dois lados são iguais onde quer que estejam definidos.

A resposta. Portanto, a resposta é A identidade é verdadeira (para todo valor onde ambos os lados estão definidos). Depois de reescrever os dois lados com senos e cossenos e substituir cos ao quadrado por 1 menos sin ao quadrado, a diferença entre os dois lados vale exatamente 0, então cot(x) mais tan(x) igual a sec(x)csc(x) é verdadeira para todo x em que os dois lados estão definidos.

Verificação. Verificação numérica em 10 valores de teste: os dois lados coincidem.

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