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Resolver um problema
Identidades trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:30

cos(2x) = 2cos(x) é uma identidade?

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Esta não é uma identidade: os dois lados não são iguais para todos os valores..

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    cos⁡(2x)=2cos⁡(x)\cos\left(2x\right) = 2\cos\left( x\right)
  2. 2. Passos, parte 1
    1. sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x,cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\sin(2x) = 2\sin x\cos x,\quad \cos(2x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x
      Reescrever tudo em função de sin x e cos x
    2. −2sin⁡2x+1-2\sin^{2} x + 1
      Lado esquerdo em seno e cosseno
    3. 2cos⁡x2\cos x
      Lado direito em seno e cosseno
    4. lado esquerdo−lado direito=ND,N=cos⁡2x−sin⁡2x−2cos⁡x\text{lado esquerdo} - \text{lado direito} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x - \sin^{2} x - 2\cos x
      Subtrair os lados e escrever a diferença com um denominador comum
  3. 3. Passos, parte 2
    1. N=−2sin⁡2x−2cos⁡x+1N = -2\sin^{2} x - 2\cos x + 1
      Substituir cada cos²x por 1 − sin²x e juntar os termos
    2. O numerador não é zero, então os lados não são idênticos
  4. 4. A resposta
    cos⁡(2x)≢2cos⁡(x)\cos\left(2x\right) \not\equiv 2\cos\left( x\right)

    LHS − RHS numerator = -2·sin^2(x) - 2·cos(x) + 1

  5. 5. Verificação
    • Em x = 30°, o lado esquerdo ≈ 0.5 mas o lado direito ≈ 1.732050808.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: cos(2x) igual a 2cos(x) é uma identidade? Demonstrar uma identidade trigonométrica.

Passos, parte 1. Reescrever tudo em função de sin x e cos x. Identidades usadas:. Lado esquerdo em seno e cosseno. Lado direito em seno e cosseno. Subtrair os lados e escrever a diferença com um denominador comum. A identidade é verdadeira exatamente quando este numerador é zero para todo valor da variável.

Passos, parte 2. Substituir cada cos ao quadradox por 1 menos sin ao quadradox e juntar os termos. O numerador não é zero, então os lados não são idênticos. Em x igual a 30°, o lado esquerdo aproximadamente 0.5 mas o lado direito aproximadamente 1.732050808.

A resposta. Portanto, a resposta é Esta não é uma identidade: os dois lados não são iguais para todos os valores. A diferença dos lados não se reduz a 0. Em x igual a 30°, o lado esquerdo aproximadamente 0.5 mas o lado direito aproximadamente 1.732050808. A equação ainda pode ser verdadeira para valores específicos; resolva-a como uma equação para encontrá-los.

Verificação. Em x igual a 30°, o lado esquerdo aproximadamente 0.5 mas o lado direito aproximadamente 1.732050808.

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