Identidades trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:15

sin(x)² + cos(x)² = 1 é uma identidade?

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A identidade é verdadeira (para todo valor onde ambos os lados estão definidos)..

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Passos na tela

1. O problema
Exemplo resolvido
${\sin\left( x\right)}^{2}+{\cos\left( x\right)}^{2} = 1$
2. Passos, parte 1
1. Reescrever tudo em função de sin x e cos x
2. $1$
  Lado esquerdo em seno e cosseno
3. $1$
  Lado direito em seno e cosseno
4. $\text{lado esquerdo} - \text{lado direito} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 1$
  Subtrair os lados e escrever a diferença com um denominador comum
3. Passos, parte 2
1. $N = 0$
  Substituir cada cos²x por 1 − sin²x e juntar os termos
2. O numerador é identicamente nulo
4. A resposta
${\sin\left( x\right)}^{2}+{\cos\left( x\right)}^{2} \equiv 1$
LHS − RHS reduces to 0
5. Verificação
- Verificação numérica em 10 valores de teste: os dois lados coincidem.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: sin(x) ao quadrado mais cos(x) ao quadrado igual a 1 é uma identidade? Demonstrar uma identidade trigonométrica.

Passos, parte 1. Reescrever tudo em função de sin x e cos x. A expressão já usa só senos e cossenos. Lado esquerdo em seno e cosseno. Lado direito em seno e cosseno. Subtrair os lados e escrever a diferença com um denominador comum. A identidade é verdadeira exatamente quando este numerador é zero para todo valor da variável.

Passos, parte 2. Substituir cada cos ao quadradox por 1 menos sin ao quadradox e juntar os termos. O numerador é identicamente nulo. Todos os termos se cancelam depois de usar sin ao quadrado mais cos ao quadrado igual a 1, então os dois lados são iguais onde quer que estejam definidos.

A resposta. Portanto, a resposta é A identidade é verdadeira (para todo valor onde ambos os lados estão definidos). Depois de reescrever os dois lados com senos e cossenos e substituir cos ao quadrado por 1 menos sin ao quadrado, a diferença entre os dois lados vale exatamente 0, então sin(x) ao quadrado mais cos(x) ao quadrado igual a 1 é verdadeira para todo x em que os dois lados estão definidos.

Verificação. Verificação numérica em 10 valores de teste: os dois lados coincidem.

Passos na tela

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