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Resolver um problema
Equações trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:42

Resolver cos(x) = √(2)/2

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = π/4 + 2πk, x = 7π/4 + 2πk (k qualquer número inteiro).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    cos⁡(x)=22\cos\left( x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
  2. 2. Passos, parte 1
    1. cos⁡(x)=22\cos\left( x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
      Partir da equação
    2. f(x)=cos⁡(x)−0.7071067811865476=0f(x) = \cos\left( x\right)-0.7071067811865476 = 0
      Reescrever como f(x) = 0
    3. O lado esquerdo se repete a cada 2π, então encontrar as soluções em um período
    4. x=π4, x=7π4x = \frac{\pi}{4},\ x = \frac{7\pi}{4}
      Soluções em um período [0, 2π)
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x=π4+2πk,x=7π4+2πk,k∈Zx = \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\quad x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}
      Adicionar qualquer número inteiro de períodos
  4. 4. A resposta
    x=π4+2πk, x=7π4+2πk, k∈Zx = \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\ x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

    x = π/4 + 2πk, x = 7π/4 + 2πk (k any integer)

  5. 5. Verificação
    • x = 0.78539816: lado esquerdo = 0.70710678, lado direito = 0.70710678 ✓
    • x = 5.4977871: lado esquerdo = 0.70710678, lado direito = 0.70710678 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: cos(x) igual a sqrt(2)/2. Uma equação periódica em x: ela tem infinitas soluções, uma família para cada solução em um único período.

Passos, parte 1. Partir da equação. Reescrever como f(x) igual a 0. O lado esquerdo se repete a cada 2pi, então encontrar as soluções em um período. f(x mais 2pi) igual a f(x) para todo x, então cada solução é uma das soluções em [0, 2pi) mais um número inteiro de períodos. Soluções em um período [0, 2pi).

Passos, parte 2. Adicionar qualquer número inteiro de períodos.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a pi/4 mais 2pik, x igual a 7pi/4 mais 2pik (k qualquer número inteiro). Cada solução em um período foi encontrada numericamente, correspondida a um valor exato e confirmada por substituição; adicionar períodos completos fornece todas as soluções.

Verificação. x igual a 0.78539816: lado esquerdo igual a 0.70710678, lado direito igual a 0.70710678, o que confere. x igual a 5.4977871: lado esquerdo igual a 0.70710678, lado direito igual a 0.70710678, o que confere.

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