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Resolver um problema
Equações trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:10

Resolver tan(3x) = -1

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = π/4 + πk/3 (k qualquer número inteiro).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.4 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    tan⁡(3 x)=−1\tan\left(3~ x\right) = -1
  2. 2. Passos, parte 1
    1. tan⁡(3 x)=−1\tan\left(3~ x\right) = -1
      Partir da equação
    2. f(x)=tan⁡(3 x)+1=0f(x) = \tan\left(3~ x\right)+1 = 0
      Reescrever como f(x) = 0
    3. O lado esquerdo se repete a cada π/3, então encontrar as soluções em um período
    4. x=π4x = \frac{\pi}{4}
      Soluções em um período [0, π/3)
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x=π4+πk3,k∈Zx = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3},\quad k \in \mathbb{Z}
      Adicionar qualquer número inteiro de períodos
  4. 4. A resposta
    x=π4+πk3, k∈Zx = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3},\ k \in \mathbb{Z}

    x = π/4 + πk/3 (k any integer)

  5. 5. Verificação
    • x = 0.78539816: lado esquerdo = -1, lado direito = -1 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: tan(3x) igual a menos 1. Uma equação periódica em x: ela tem infinitas soluções, uma família para cada solução em um único período.

Passos, parte 1. Partir da equação. Reescrever como f(x) igual a 0. O lado esquerdo se repete a cada pi/3, então encontrar as soluções em um período. f(x mais pi/3) igual a f(x) para todo x, então cada solução é uma das soluções em [0, pi/3) mais um número inteiro de períodos. Soluções em um período [0, pi/3).

Passos, parte 2. Adicionar qualquer número inteiro de períodos.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a pi/4 mais pik/3 (k qualquer número inteiro). Cada solução em um período foi encontrada numericamente, correspondida a um valor exato e confirmada por substituição; adicionar períodos completos fornece todas as soluções.

Verificação. x igual a 0.78539816: lado esquerdo igual a menos 1, lado direito igual a menos 1, o que confere.

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