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Resolver um problema
Equações trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:09

Resolver tan(2x) = -1

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = 3π/8 + πk/2 (k qualquer número inteiro).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.4 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    tan⁡(2 x)=−1\tan\left(2~ x\right) = -1
  2. 2. Passos, parte 1
    1. tan⁡(2 x)=−1\tan\left(2~ x\right) = -1
      Partir da equação
    2. f(x)=tan⁡(2 x)+1=0f(x) = \tan\left(2~ x\right)+1 = 0
      Reescrever como f(x) = 0
    3. O lado esquerdo se repete a cada π/2, então encontrar as soluções em um período
    4. x=3π8x = \frac{3\pi}{8}
      Soluções em um período [0, π/2)
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x=3π8+πk2,k∈Zx = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2},\quad k \in \mathbb{Z}
      Adicionar qualquer número inteiro de períodos
  4. 4. A resposta
    x=3π8+πk2, k∈Zx = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2},\ k \in \mathbb{Z}

    x = 3π/8 + πk/2 (k any integer)

  5. 5. Verificação
    • x = 1.1780972: lado esquerdo = -1, lado direito = -1 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: tan(2x) igual a menos 1. Uma equação periódica em x: ela tem infinitas soluções, uma família para cada solução em um único período.

Passos, parte 1. Partir da equação. Reescrever como f(x) igual a 0. O lado esquerdo se repete a cada pi/2, então encontrar as soluções em um período. f(x mais pi/2) igual a f(x) para todo x, então cada solução é uma das soluções em [0, pi/2) mais um número inteiro de períodos. Soluções em um período [0, pi/2).

Passos, parte 2. Adicionar qualquer número inteiro de períodos.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a 3pi/8 mais pik/2 (k qualquer número inteiro). Cada solução em um período foi encontrada numericamente, correspondida a um valor exato e confirmada por substituição; adicionar períodos completos fornece todas as soluções.

Verificação. x igual a 1.1780972: lado esquerdo igual a menos 1, lado direito igual a menos 1, o que confere.

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