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Resolver um problema
Equações trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 2:06

Encontre arccos(-√3/2) e todos os ângulos em [0°, 360°) com cos x = -√3/2

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: arccos(-√3/2) = 150° (5π/6); soluções em [0°, 360°): 150°, 210°; geral: x = ±150° + 360°n.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre arccos(-√3/2) e todos os ângulos em [0°, 360°) com cos x = -√3/2

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.8 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre arccos(-√3/2) e todos os ângulos em [0°, 360°) com cos x = -√3/2
  2. 2. Passo a passo
    1. arccos⁡(−3/2)=150∘=5π6\operatorname{arccos}\left(-\sqrt{3}/2\right) = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}
      Valor principal do arccos, tomado no intervalo [0, π]
    2. cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x
      O cosseno é uma função par, então x e −x (isto é, 360° − x) dão o mesmo valor
    3. x=150∘, 210∘(5π6, 7π6)x = 150^\circ,\ 210^\circ \quad (\frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6})
      Soluções em uma volta completa, 0° ≤ x < 360°
    4. x=±150∘+360∘nx = \pm 150^\circ + 360^\circ n
      Solução geral, n qualquer número inteiro
  3. 3. A resposta
    arccos⁡(−3/2)=150∘=5π6,x=±150∘+360∘n\operatorname{arccos}\left(-\sqrt{3}/2\right) = 150^\circ = \frac{5\pi}{6},\quad x = \pm 150^\circ + 360^\circ n

    arccos(-√3/2) = 150°

  4. 4. Verificação
    • Substituindo cada solução de volta: cos(150°) ≈ -0.8660254038; cos(210°) ≈ -0.8660254038.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre arccos(menos a raiz quadrada de 3 sobre 2 e todos os ângulos em [0°, 360°) com cos x igual a menos a raiz quadrada de 3 sobre 2. Encontrar o ângulo cujo cosseno é menos a raiz quadrada de 3 sobre 2: o valor principal do arccos, toda solução de cos(x) igual a menos a raiz quadrada de 3 sobre 2 em uma volta e a solução geral.

Passo a passo. Valor principal do arccos, tomado no intervalo [0, pi]. 150° é um ângulo notável, então a resposta é exata. O cosseno é uma função par, então x e menos x (isto é, 360° menos x) dão o mesmo valor. Soluções em uma volta completa, 0° menor ou igual a x menor que 360°. Solução geral, n qualquer número inteiro.

A resposta. Portanto, a resposta é arccos(menos a raiz quadrada de 3 sobre 2 igual a 150° (5pi/6); soluções em [0°, 360°): 150°, 210°; geral: x igual a mais ou menos 150° mais 360°n. Uma função trigonométrica inversa retorna um ângulo, o valor principal. Como as funções trigonométricas se repetem, a equação cos(x) igual a menos a raiz quadrada de 3 sobre 2 tem infinitas soluções; a calculadora lista aquelas em uma volta e o padrão geral.

Verificação. Substituindo cada solução de volta: cos(150°) aproximadamente menos 0.8660254038; cos(210°) aproximadamente menos 0.8660254038.

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