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Resolver um problema
Equações trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:43

Encontre arcsec(-2) e todos os ângulos em [0°, 360°) com sec x = -2

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: arcsec(-2) = 120° (2π/3); soluções em [0°, 360°): 120°, 240°; geral: x = ±120° + 360°n.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre arcsec(-2) e todos os ângulos em [0°, 360°) com sec x = -2

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.7 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre arcsec(-2) e todos os ângulos em [0°, 360°) com sec x = -2
  2. 2. Passos, parte 1
    1. sec⁡x=−2  ⟺  cos⁡x=1−2≈−0.5\sec x = -2 \iff \cos x = \frac{1}{-2} \approx -0.5
      Reescrever sec como um recíproco
    2. arcsec⁡(−2)=120∘=2π3\operatorname{arcsec}\left(-2\right) = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}
      Valor principal do arcsec, tomado no intervalo [0, π], excluindo π/2
    3. cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x
      O cosseno é uma função par, então x e −x (isto é, 360° − x) dão o mesmo valor
    4. x=120∘, 240∘(2π3, 4π3)x = 120^\circ,\ 240^\circ \quad (\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3})
      Soluções em uma volta completa, 0° ≤ x < 360°
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x=±120∘+360∘nx = \pm 120^\circ + 360^\circ n
      Solução geral, n qualquer número inteiro
  4. 4. A resposta
    arcsec⁡(−2)=120∘=2π3,x=±120∘+360∘n\operatorname{arcsec}\left(-2\right) = 120^\circ = \frac{2\pi}{3},\quad x = \pm 120^\circ + 360^\circ n

    arcsec(-2) = 120°

  5. 5. Verificação
    • Substituindo cada solução de volta: sec(120°) ≈ -2; sec(240°) ≈ -2.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre arcsec(menos 2) e todos os ângulos em [0°, 360°) com sec x igual a menos 2. Encontrar o ângulo cuja secante é menos 2: o valor principal do arcsec, toda solução de sec(x) igual a menos 2 em uma volta e a solução geral.

Passos, parte 1. Reescrever sec como um recíproco. Valor principal do arcsec, tomado no intervalo [0, pi], excluindo pi/2. 120° é um ângulo notável, então a resposta é exata. O cosseno é uma função par, então x e menos x (isto é, 360° menos x) dão o mesmo valor. Soluções em uma volta completa, 0° menor ou igual a x menor que 360°.

Passos, parte 2. Solução geral, n qualquer número inteiro.

A resposta. Portanto, a resposta é arcsec(menos 2) igual a 120° (2pi/3); soluções em [0°, 360°): 120°, 240°; geral: x igual a mais ou menos 120° mais 360°n. Uma função trigonométrica inversa retorna um ângulo, o valor principal. Como as funções trigonométricas se repetem, a equação sec(x) igual a menos 2 tem infinitas soluções; a calculadora lista aquelas em uma volta e o padrão geral.

Verificação. Substituindo cada solução de volta: sec(120°) aproximadamente menos 2; sec(240°) aproximadamente menos 2.

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