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Resolver um problema
Equações trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:38

Encontre arctan(-1) e todos os ângulos em [0°, 360°) com tan x = -1

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: arctan(-1) = -45° (-π/4); soluções em [0°, 360°): 135°, 315°; geral: x = -45° + 180°n.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre arctan(-1) e todos os ângulos em [0°, 360°) com tan x = -1

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre arctan(-1) e todos os ângulos em [0°, 360°) com tan x = -1
  2. 2. Passo a passo
    1. arctan⁡(−1)=−45∘=−π4\operatorname{arctan}\left(-1\right) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4}
      Valor principal do arctan, tomado no intervalo (−π/2, π/2)
    2. tan⁡(x+180∘)=tan⁡x\tan(x + 180^\circ) = \tan x
      tan se repete a cada 180°, então adicione múltiplos de 180°
    3. x=135∘, 315∘(3π4, 7π4)x = 135^\circ,\ 315^\circ \quad (\frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4})
      Soluções em uma volta completa, 0° ≤ x < 360°
    4. x=−45∘+180∘nx = -45^\circ + 180^\circ n
      Solução geral, n qualquer número inteiro
  3. 3. A resposta
    arctan⁡(−1)=−45∘=−π4,x=−45∘+180∘n\operatorname{arctan}\left(-1\right) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4},\quad x = -45^\circ + 180^\circ n

    arctan(-1) = -45°

  4. 4. Verificação
    • Substituindo cada solução de volta: tan(135°) ≈ -1; tan(315°) ≈ -1.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre arctan(menos 1) e todos os ângulos em [0°, 360°) com tan x igual a menos 1. Encontrar o ângulo cuja tangente é menos 1: o valor principal do arctan, toda solução de tan(x) igual a menos 1 em uma volta e a solução geral.

Passo a passo. Valor principal do arctan, tomado no intervalo (−pi/2, pi/2). menos 45° é um ângulo notável, então a resposta é exata. tan se repete a cada 180°, então adicione múltiplos de 180°. Soluções em uma volta completa, 0° menor ou igual a x menor que 360°. Solução geral, n qualquer número inteiro.

A resposta. Portanto, a resposta é arctan(menos 1) igual a menos 45° (-pi/4); soluções em [0°, 360°): 135°, 315°; geral: x igual a menos 45° mais 180°n. Uma função trigonométrica inversa retorna um ângulo, o valor principal. Como as funções trigonométricas se repetem, a equação tan(x) igual a menos 1 tem infinitas soluções; a calculadora lista aquelas em uma volta e o padrão geral.

Verificação. Substituindo cada solução de volta: tan(135°) aproximadamente menos 1; tan(315°) aproximadamente menos 1.

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