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Resolver um problema
Equações trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 2:10

Encontre arccos(0.25) e todos os ângulos em [0°, 360°) com cos x = 0.25

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: arccos(0.25) = 75.52248781° (1.318116072 rad); soluções em [0°, 360°): 75.52248781°, 284.4775122°; geral: x = ±75.52248781° + 360°n.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre arccos(0.25) e todos os ângulos em [0°, 360°) com cos x = 0.25

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.8 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre arccos(0.25) e todos os ângulos em [0°, 360°) com cos x = 0.25
  2. 2. Passo a passo
    1. arccos⁡(0.25)=75.52248781∘=1.318116072 rad\operatorname{arccos}\left(0.25\right) = 75.52248781^\circ = 1.318116072\text{ rad}
      Valor principal do arccos, tomado no intervalo [0, π]
    2. cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x
      O cosseno é uma função par, então x e −x (isto é, 360° − x) dão o mesmo valor
    3. x=75.52248781∘, 284.4775122∘(1.318116072, 4.965069236)x = 75.52248781^\circ,\ 284.4775122^\circ \quad (1.318116072,\ 4.965069236)
      Soluções em uma volta completa, 0° ≤ x < 360°
    4. x=±75.52248781∘+360∘nx = \pm 75.52248781^\circ + 360^\circ n
      Solução geral, n qualquer número inteiro
  3. 3. A resposta
    arccos⁡(0.25)=75.52248781∘≈1.318116072,x=±75.52248781∘+360∘n\operatorname{arccos}\left(0.25\right) = 75.52248781^\circ \approx 1.318116072,\quad x = \pm 75.52248781^\circ + 360^\circ n

    arccos(0.25) = 75.52248781°

  4. 4. Verificação
    • Substituindo cada solução de volta: cos(75.52248781°) ≈ 0.25; cos(284.4775122°) ≈ 0.25.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre arccos(0.25) e todos os ângulos em [0°, 360°) com cos x igual a 0.25. Encontrar o ângulo cujo cosseno é 0.25: o valor principal do arccos, toda solução de cos(x) igual a 0.25 em uma volta e a solução geral.

Passo a passo. Valor principal do arccos, tomado no intervalo [0, pi]. O valor não é um dos valores exatos padrão, então o ângulo é dado como um decimal. O cosseno é uma função par, então x e menos x (isto é, 360° menos x) dão o mesmo valor. Soluções em uma volta completa, 0° menor ou igual a x menor que 360°. Solução geral, n qualquer número inteiro.

A resposta. Portanto, a resposta é arccos(0.25) igual a 75.52248781° (1.318116072 rad); soluções em [0°, 360°): 75.52248781°, 284.4775122°; geral: x igual a mais ou menos 75.52248781° mais 360°n. Uma função trigonométrica inversa retorna um ângulo, o valor principal. Como as funções trigonométricas se repetem, a equação cos(x) igual a 0.25 tem infinitas soluções; a calculadora lista aquelas em uma volta e o padrão geral.

Verificação. Substituindo cada solução de volta: cos(75.52248781°) aproximadamente 0.25; cos(284.4775122°) aproximadamente 0.25.

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