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Resolver um problema
Equações trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 2:09

Encontre arcsin(-√2/2) e todos os ângulos em [0°, 360°) com sin x = -√2/2

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: arcsin(-√2/2) = -45° (-π/4); soluções em [0°, 360°): 225°, 315°; geral: x = -45° + 360°n ou x = 225° + 360°n.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre arcsin(-√2/2) e todos os ângulos em [0°, 360°) com sin x = -√2/2

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.8 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre arcsin(-√2/2) e todos os ângulos em [0°, 360°) com sin x = -√2/2
  2. 2. Passo a passo
    1. arcsin⁡(−2/2)=−45∘=−π4\operatorname{arcsin}\left(-\sqrt{2}/2\right) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4}
      Valor principal do arcsin, tomado no intervalo [−π/2, π/2]
    2. sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x
      O seno também é positivo ou negativo no segundo quadrante, então use x e 180° − x
    3. x=225∘, 315∘(5π4, 7π4)x = 225^\circ,\ 315^\circ \quad (\frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4})
      Soluções em uma volta completa, 0° ≤ x < 360°
    4. x=−45∘+360∘n ou x=225∘+360∘nx = -45^\circ + 360^\circ n \ \text{ou}\ x = 225^\circ + 360^\circ n
      Solução geral, n qualquer número inteiro
  3. 3. A resposta
    arcsin⁡(−2/2)=−45∘=−π4,x=−45∘+360∘n ou x=225∘+360∘n\operatorname{arcsin}\left(-\sqrt{2}/2\right) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4},\quad x = -45^\circ + 360^\circ n \ \text{ou}\ x = 225^\circ + 360^\circ n

    arcsin(-√2/2) = -45°

  4. 4. Verificação
    • Substituindo cada solução de volta: sin(225°) ≈ -0.7071067812; sin(315°) ≈ -0.7071067812.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre arcsin(menos a raiz quadrada de 2 sobre 2 e todos os ângulos em [0°, 360°) com sin x igual a menos a raiz quadrada de 2 sobre 2. Encontrar o ângulo cujo seno é menos a raiz quadrada de 2 sobre 2: o valor principal do arcsin, toda solução de sin(x) igual a menos a raiz quadrada de 2 sobre 2 em uma volta e a solução geral.

Passo a passo. Valor principal do arcsin, tomado no intervalo [−pi/2, pi/2]. menos 45° é um ângulo notável, então a resposta é exata. O seno também é positivo ou negativo no segundo quadrante, então use x e 180° menos x. Soluções em uma volta completa, 0° menor ou igual a x menor que 360°. Solução geral, n qualquer número inteiro.

A resposta. Portanto, a resposta é arcsin(menos a raiz quadrada de 2 sobre 2 igual a menos 45° (-pi/4); soluções em [0°, 360°): 225°, 315°; geral: x igual a menos 45° mais 360°n ou x igual a 225° mais 360°n. Uma função trigonométrica inversa retorna um ângulo, o valor principal. Como as funções trigonométricas se repetem, a equação sin(x) igual a menos a raiz quadrada de 2 sobre 2 tem infinitas soluções; a calculadora lista aquelas em uma volta e o padrão geral.

Verificação. Substituindo cada solução de volta: sin(225°) aproximadamente menos 0.7071067812; sin(315°) aproximadamente menos 0.7071067812.

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