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Resolver um problema
Equações trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:41

Encontre arcsin(1/2) e todos os ângulos em [0°, 360°) com sin x = 1/2

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: arcsin(1/2) = 30° (π/6); soluções em [0°, 360°): 30°, 150°; geral: x = 30° + 360°n ou x = 150° + 360°n.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre arcsin(1/2) e todos os ângulos em [0°, 360°) com sin x = 1/2

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.7 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre arcsin(1/2) e todos os ângulos em [0°, 360°) com sin x = 1/2
  2. 2. Passo a passo
    1. arcsin⁡(1/2)=30∘=π6\operatorname{arcsin}\left(1/2\right) = 30^\circ = \frac{\pi}{6}
      Valor principal do arcsin, tomado no intervalo [−π/2, π/2]
    2. sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x
      O seno também é positivo ou negativo no segundo quadrante, então use x e 180° − x
    3. x=30∘, 150∘(π6, 5π6)x = 30^\circ,\ 150^\circ \quad (\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6})
      Soluções em uma volta completa, 0° ≤ x < 360°
    4. x=30∘+360∘n ou x=150∘+360∘nx = 30^\circ + 360^\circ n \ \text{ou}\ x = 150^\circ + 360^\circ n
      Solução geral, n qualquer número inteiro
  3. 3. A resposta
    arcsin⁡(1/2)=30∘=π6,x=30∘+360∘n ou x=150∘+360∘n\operatorname{arcsin}\left(1/2\right) = 30^\circ = \frac{\pi}{6},\quad x = 30^\circ + 360^\circ n \ \text{ou}\ x = 150^\circ + 360^\circ n

    arcsin(1/2) = 30°

  4. 4. Verificação
    • Substituindo cada solução de volta: sin(30°) ≈ 0.5; sin(150°) ≈ 0.5.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre arcsin(1 sobre 2) e todos os ângulos em [0°, 360°) com sin x igual a 1 sobre 2. Encontrar o ângulo cujo seno é 1 sobre 2: o valor principal do arcsin, toda solução de sin(x) igual a 1 sobre 2 em uma volta e a solução geral.

Passo a passo. Valor principal do arcsin, tomado no intervalo [−pi/2, pi/2]. 30° é um ângulo notável, então a resposta é exata. O seno também é positivo ou negativo no segundo quadrante, então use x e 180° menos x. Soluções em uma volta completa, 0° menor ou igual a x menor que 360°. Solução geral, n qualquer número inteiro.

A resposta. Portanto, a resposta é arcsin(1 sobre 2) igual a 30° (pi/6); soluções em [0°, 360°): 30°, 150°; geral: x igual a 30° mais 360°n ou x igual a 150° mais 360°n. Uma função trigonométrica inversa retorna um ângulo, o valor principal. Como as funções trigonométricas se repetem, a equação sin(x) igual a 1 sobre 2 tem infinitas soluções; a calculadora lista aquelas em uma volta e o padrão geral.

Verificação. Substituindo cada solução de volta: sin(30°) aproximadamente 0.5; sin(150°) aproximadamente 0.5.

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