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Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 2:00

Resolver x⁴ - 10x² + 9 = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = -3, x = -1, x = 1, x = 3.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.8 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x4−10 x2+9=0{ x}^{4}-10~{ x}^{2}+9 = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x4−10 x2+9=0{ x}^{4}-10~{ x}^{2}+9 = 0
      Partir da equação
    2. x4−10x2+9=0x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. x3−3x2−x+3=0x^{3} - 3x^{2} - x + 3 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -3 é uma raiz
    4. x2−4x+3=0x^{2} - 4x + 3 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -1 é uma raiz
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x−3=0x - 3 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 1 é uma raiz
    2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 3 é uma raiz
    3. x=−3,x=−1,x=1,x=3x = -3,\quad x = -1,\quad x = 1,\quad x = 3
      Reunir as soluções reais
  4. 4. No gráfico
    -6-4-2246-20-101020304050x = -3x = -1x = 1x = 3
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  5. 5. A resposta
    x=−3, x=−1, x=1, x=3x = -3,\ x = -1,\ x = 1,\ x = 3

    x = -3, x = -1, x = 1, x = 3

  6. 6. Verificação
    • x = -3: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = -1: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 1: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 3: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x elevado a 4 menos 10x ao quadrado mais 9 igual a 0. Equação polinomial de grau 4 em x.

Passos, parte 1. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 3 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 3) deixa um polinômio de grau 3. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 1 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 1) deixa um polinômio de grau 2.

Passos, parte 2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 1 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 1) deixa um polinômio de grau 1. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 3 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 3) deixa um polinômio de grau 0. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a menos 3, x igual a menos 1, x igual a 1, x igual a 3. Um polinômio de grau 4 tem exatamente 4 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Raízes racionais exatas são encontradas primeiro, depois as restantes são resolvidas exatamente ou aproximadas.

Verificação. x igual a menos 3: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a menos 1: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 1: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 3: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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