Определённые интегралыМатематический анализВуз≈ 1:02

Определенный интеграл x sin(x) от 0 до π

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: 3.141592654 = π.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.4 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\int_{0}^{\pi} x \sin\left( x\right)\,dx$
2. Шаги, часть 1
1. $\int_{0}^{\pi} x \sin\left( x\right)\,dx$
  Записываем определённый интеграл
2. $\int u\,dv = uv - \int v\,du$
  Интегрирование по частям (табличный способ)
3. $\int x \sin\left( x\right)\,dx = \sin\left( x\right)- x \cos\left( x\right)$
  Складываем произведения с чередующимися знаками
4. $F(x) = \sin\left( x\right)- x \cos\left( x\right)$
  Первообразная
3. Шаги, часть 2
1. $F(\pi) - F(0) = 3.141592654 - 0 = 3.141592654$
  Применяем формулу Ньютона — Лейбница
4. Ответ
$\int_{0}^{\pi} x \sin\left( x\right)\,dx = 3.141592654$
∫ from 0 to π = 3.141592654 = π
5. Проверка
- Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией ✓
- Адаптивный метод Симпсона даёт 3.141592654 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Определенный интеграл x sin(x) от 0 до pi. Вычислим определённый интеграл от x sin(x) от x равно 0 до x равно пи.

Шаги, часть 1. Записываем определённый интеграл. Интегрирование по частям (табличный способ). Дифференцируем многочлен x, пока не получим 0, интегрируем sin(x) столько же раз и составляем сумму с чередующимися знаками. Складываем произведения с чередующимися знаками. Первообразная.

Шаги, часть 2. Применяем формулу Ньютона — Лейбница.

Ответ. Итак, ответ: 3.141592654 равно пи. Определённый интеграл даёт ориентированную площадь между кривой и осью x: площадь над осью считается положительной, а под осью — отрицательной.

Проверка. Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией, что верно. Адаптивный метод Симпсона даёт 3.141592654, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки