ПроизводныеМатематический анализВуз≈ 1:42

Производная (arctan(x²+x+1))(ln(eˣ+1))

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: f'(x) = (2x + 1)·ln(e^x + 1) / ((x² + x + 1)² + 1) + atan(x² + x + 1)·e^x / (e^x + 1).

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.7 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right]$
2. Шаги, часть 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Производная произведения: (uv)′ = u′v + uv′
2. $\frac{d}{dx}\left[\ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Производная сложной функции — d/dx[ln u] = u′/u
3. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}$
  Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
4. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}$
  Производная показательной функции: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. Шаги, часть 2
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)\right] = \frac{2x+1}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}$
  Цепное правило — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
2. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1$
  Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1$
  Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Производная степени: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
4. Шаги, часть 3
1. $f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Приводим подобные и упрощаем
5. Ответ
$f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
f'(x) = (2x + 1)·ln(e^x + 1) / ((x² + x + 1)² + 1) + atan(x² + x + 1)·e^x / (e^x + 1)
6. Проверка
- Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Производная (arctan(x в квадрате плюс x плюс 1))(ln(e в степени x плюс 1)). Найдём производную (atan(x в квадрате плюс x плюс 1)) (ln(e в степени x плюс 1)) по x.

Шаги, часть 1. Производная произведения: (uv) штрих равно u штрих v плюс uv штрих. Производная сложной функции — производная по x[ln u] равно u штрих /u. Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная показательной функции: производная по x[eᵘ] равно eᵘ умножить на u штрих.

Шаги, часть 2. Цепное правило — производная по x[arctan u] равно u штрих /(1 плюс u в квадрате). Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная степени: производная по x[x в степени n] равно n умножить на x в степени n минус 1.

Шаги, часть 3. Приводим подобные и упрощаем.

Ответ. Итак, ответ: f штрих от x равно (2x плюс 1) умножить на ln(e в степени x плюс 1) / ((x в квадрате плюс x плюс 1) в квадрате плюс 1) плюс atan(x в квадрате плюс x плюс 1) умножить на e в степени x / (e в степени x плюс 1). Производная строится снаружи внутрь: сумма разбивается на слагаемые, постоянный множитель выносится, для произведений и частных действуют свои правила, а каждая сложная функция умножается на производную внутренней функции (правило дифференцирования сложной функции).

Проверка. Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки