Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПроизводныеМатематический анализВуз≈ 1:37

Производная (e^(eˣ+1))(cos(x²+1))

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: f'(x) = e^(e^x + 1 + x)·cos(x² + 1) - 2e^(e^x + 1)·sin(x² + 1)·x.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.6 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ddx[eex+1cos⁡(x2+1)]\frac{d}{dx}\left[{e}^{{e}^{x}+1} \cos\left({x}^{2}+1\right)\right]
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. ddx[eex+1cos⁡(x2+1)]=eex+1+xcos⁡(x2+1)−2eex+1sin⁡(x2+1)x\frac{d}{dx}\left[{e}^{{e}^{x}+1} \cos\left({x}^{2}+1\right)\right] = {e}^{{e}^{x}+1+ x} \cos\left({x}^{2}+1\right)-2{e}^{{e}^{x}+1} \sin\left({x}^{2}+1\right) x
      Производная произведения: (uv)′ = u′v + uv′
    2. ddx[cos⁡(x2+1)]=−(2sin⁡(x2+1)x)\frac{d}{dx}\left[\cos\left({x}^{2}+1\right)\right] = -\left(2\sin\left({x}^{2}+1\right) x\right)
      Цепное правило — d/dx[cos u] = −sin u · u′
    3. ddx[x2+1]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x
      Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
    4. ddx[x2]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x
      Производная степени: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. ddx[eex+1]=eex+1+x\frac{d}{dx}\left[{e}^{{e}^{x}+1}\right] = {e}^{{e}^{x}+1+ x}
      Производная показательной функции: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
    2. ddx[ex+1]=ex\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}
      Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
    3. ddx[ex]=ex\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}
      Производная показательной функции: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
    4. f′(x)=eex+1+xcos⁡(x2+1)−2eex+1sin⁡(x2+1)xf'(x) = {e}^{{e}^{x}+1+ x} \cos\left({x}^{2}+1\right)-2{e}^{{e}^{x}+1} \sin\left({x}^{2}+1\right) x
      Приводим подобные и упрощаем
  4. 4. Ответ
    f′(x)=eex+1+xcos⁡(x2+1)−2eex+1sin⁡(x2+1)xf'(x) = {e}^{{e}^{x}+1+ x} \cos\left({x}^{2}+1\right)-2{e}^{{e}^{x}+1} \sin\left({x}^{2}+1\right) x

    f'(x) = e^(e^x + 1 + x)·cos(x² + 1) - 2e^(e^x + 1)·sin(x² + 1)·x

  5. 5. Проверка
    • Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Производная (e в степени e в степени x плюс 1))(cos(x в квадрате плюс 1)). Найдём производную (e в степени e в степени x плюс 1)) (cos(x в квадрате плюс 1)) по x.

Шаги, часть 1. Производная произведения: (uv) штрих равно u штрих v плюс uv штрих. Цепное правило — производная по x[cos u] равно минус sin u умножить на u штрих. Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная степени: производная по x[x в степени n] равно n умножить на x в степени n минус 1.

Шаги, часть 2. Производная показательной функции: производная по x[eᵘ] равно eᵘ умножить на u штрих. Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная показательной функции: производная по x[eᵘ] равно eᵘ умножить на u штрих. Приводим подобные и упрощаем.

Ответ. Итак, ответ: f штрих от x равно e в степени e в степени x плюс 1 плюс x) умножить на cos(x в квадрате плюс 1) минус 2e в степени e в степени x плюс 1) умножить на sin(x в квадрате плюс 1) умножить на x. Производная строится снаружи внутрь: сумма разбивается на слагаемые, постоянный множитель выносится, для произведений и частных действуют свои правила, а каждая сложная функция умножается на производную внутренней функции (правило дифференцирования сложной функции).

Проверка. Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках, что верно.

Похожие уроки

Производная (e^(eˣ+1))(cos(x²+1)) — пошаговый видеоурок