ПроизводныеМатематический анализВуз≈ 1:35

Производная (ln(3x-2))/(cos(eˣ+1))

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: f'(x) = (3 / (3 x - 2) + ln(3 x - 2)·sin(e^x + 1)·e^x / cos(e^x + 1)) / cos(e^x + 1).

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.7 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\frac{d}{dx}\left[\frac{\ln\left(3x-2\right)}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}\right]$
2. Шаги, часть 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\frac{\ln\left(3x-2\right)}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}\right] = \frac{\frac{3}{3x-2}+\frac{\ln\left(3x-2\right) \sin\left({e}^{x}+1\right) {e}^{x}}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}$
  Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
2. $\frac{d}{dx}\left[\cos\left({e}^{x}+1\right)\right] = -\left(\sin\left({e}^{x}+1\right) {e}^{x}\right)$
  Цепное правило — d/dx[cos u] = −sin u · u′
3. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}$
  Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
4. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}$
  Производная показательной функции: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. Шаги, часть 2
1. $\frac{d}{dx}\left[\ln\left(3x-2\right)\right] = \frac{3}{3x-2}$
  Производная сложной функции — d/dx[ln u] = u′/u
2. $\frac{d}{dx}\left[3x-2\right] = 3$
  Производная разности: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
3. $\frac{d}{dx}\left[3x\right] = 3$
  Вынесение постоянного множителя
4. $f'(x) = \frac{\frac{3}{3x-2}+\frac{\ln\left(3x-2\right) \sin\left({e}^{x}+1\right) {e}^{x}}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}$
  Приводим подобные и упрощаем
4. Ответ
$f'(x) = \frac{\frac{3}{3x-2}+\frac{\ln\left(3x-2\right) \sin\left({e}^{x}+1\right) {e}^{x}}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}$
f'(x) = (3 / (3 x - 2) + ln(3 x - 2)·sin(e^x + 1)·e^x / cos(e^x + 1)) / cos(e^x + 1)
5. Проверка
- Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Производная (ln(3x минус 2))/(cos(e в степени x плюс 1)). Найдём производную (ln(3 x минус 2)) / (cos(e в степени x плюс 1)) по x.

Шаги, часть 1. Производная частного: (u/v) штрих равно (u штрих v минус uv штрих )/v в квадрате. Цепное правило — производная по x[cos u] равно минус sin u умножить на u штрих. Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная показательной функции: производная по x[eᵘ] равно eᵘ умножить на u штрих.

Шаги, часть 2. Производная сложной функции — производная по x[ln u] равно u штрих /u. Производная разности: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Вынесение постоянного множителя. Приводим подобные и упрощаем.

Ответ. Итак, ответ: f штрих от x равно (3 / (3 x минус 2) плюс ln(3 x минус 2) умножить на sin(e в степени x плюс 1) умножить на e в степени x / cos(e в степени x плюс 1)) / cos(e в степени x плюс 1). Производная строится снаружи внутрь: сумма разбивается на слагаемые, постоянный множитель выносится, для произведений и частных действуют свои правила, а каждая сложная функция умножается на производную внутренней функции (правило дифференцирования сложной функции).

Проверка. Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки