Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Последовательности и рядыАлгебраВуз≈ 2:45

Вычислите сумму 1/(2n-1)(2n+1) от n=1 до ∞

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Ряд сходится (предельный признак сравнения с Σ 1/n^2); сумма ≈ 0.5 (совпадает 1/2 с точностью до 10+ знаков).

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (1.0 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ∑n=1∞1(2n−1)(2n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)}
  2. 2. Пошагово
    1. ∑n=1∞1(2n−1)(2n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)}
      Записываем ряд
    2. lim⁡n→∞1(2n−1)(2n+1)=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)} = 0
      Необходимый признак сходимости
    3. lim⁡n→∞an1/n2=14\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = \frac{1}{4}
      Предельный признак сравнения с обобщённым гармоническим рядом
    4. Оценить сумму численно
  3. 3. Ответ
    ∑n=1∞1(2n−1)(2n+1) сходится≈0.5\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)} \ \text{сходится} \approx 0.5

    limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 0.5 (matches 1/2 to 10+ digits)

  4. 4. Проверка
    • Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ = 0.47619048, S₁₀₀ = 0.49751244, S₁₀₀₀ = 0.49975012, S₁₀₀₀₀ = 0.499975

Расшифровка

Задача. Вот задача: Вычислите сумму 1/(2n минус 1)(2n плюс 1) от n равно 1 до бесконечность. Выясним, сходится или расходится Σ 1 / (2 n минус 1) (2 n плюс 1) (n от 1 до ∞).

Пошагово. Записываем ряд. Σ a(n) при n равно 1, 2, 3, … где a(n) равно 1 / (2 n минус 1) (2 n плюс 1). Первые члены: 0.333333, 0.0666667, 0.0285714, 0.015873, …. Необходимый признак сходимости. lim a(n) равно 0, поэтому необходимый признак ничего не решает; члены ряда действительно убывают, так что нужен более тонкий признак. Предельный признак сравнения с обобщённым гармоническим рядом. Положительные члены: члены ряда убывают примерно как 1/n в квадрате (оценка по a(2N)/a(N)), поэтому сравниваем с Σ 1/n в квадрате: lim a(n) умножить на n в квадрате равно 1 делить на 4. Предел — положительное конечное число, значит, ряд ведёт себя так же, как обобщённый гармонический ряд Σ 1/n в квадрате, который сходится, потому что p больше 1. Оценить сумму численно. Частичные суммы S N вычислены для нескольких N и экстраполированы к N → ∞ (экстраполяция Ричардсона; для знакочередующихся членов сначала берётся среднее). Две независимые экстраполяции совпадают с точностью лучше 10 в степени минус 10 и дают S приблизительно 0.5. Показанная замкнутая форма — численное отождествление, а не доказательство.

Ответ. Итак, ответ: Ряд сходится (предельный признак сравнения с Σ 1/n в квадрате); сумма приблизительно 0.5 (совпадает 1 делить на 2 с точностью до 10+ знаков). Ряд сходится, если его частичные суммы стремятся к конечному числу. Для этого члены ряда должны стремиться к 0, но одного этого недостаточно (гармонический ряд расходится), поэтому для ответа применяется признак сравнения, признак Д’Аламбера, радикальный признак Коши, признак Лейбница или интегральный признак.

Проверка. Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ равно 0.47619048, S₁₀₀ равно 0.49751244, S₁₀₀₀ равно 0.49975012, S₁₀₀₀₀ равно 0.499975.

Похожие уроки

Вычислите сумму 1/(2n-1)(2n+1) от n=1 до ∞ — пошаговый видеоурок