Последовательности и рядыАлгебраВуз≈ 3:06

Вычислите сумму (-1)ⁿ/n от n=1 до ∞

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Ряд сходится условно (признак Лейбница); сумма ≈ -0.6931471806 (совпадает −ln(2) с точностью до 10+ знаков).

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (1.1 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
2. Шаги, часть 1
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
  Записываем ряд
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$
  Необходимый признак сходимости
3. Признак Лейбница
4. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1$
  Предельный признак сравнения с обобщённым гармоническим рядом
3. Шаги, часть 2
1. Абсолютно или условно?
2. Оценить сумму численно
4. Ответ
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n} \ \text{сходится условно} \approx -0.6931471806$
alternating series test ⇒ converges conditionally, S ≈ -0.6931471806 (matches −ln(2) to 10+ digits)
5. Проверка
- Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ = -0.64563492, S₁₀₀ = -0.68817218, S₁₀₀₀ = -0.69264743, S₁₀₀₀₀ = -0.69309718

Расшифровка

Задача. Вот задача: Вычислите сумму (минус 1) в степени n/n от n равно 1 до бесконечность. Выясним, сходится или расходится Σ (минус 1) в степени n / n (n от 1 до ∞).

Шаги, часть 1. Записываем ряд. Σ a(n) при n равно 1, 2, 3, … где a(n) равно (минус 1) в степени n / n. Первые члены: минус 1, 0.5, минус 0.333333, 0.25, …. Необходимый признак сходимости. lim |a(n)| равно 0, поэтому необходимый признак ничего не решает; члены ряда действительно убывают, так что нужен более тонкий признак. Признак Лейбница. Знаки чередуются, а модули b(n) равно 1 / n убывают (проверено на 310 индексах до 10 в степени 6) и стремятся к 0, поэтому ряд сходится. Предельный признак сравнения с обобщённым гармоническим рядом. Ряд из модулей Σ 1 / n: члены убывают примерно как 1/n (оценка по a(2N)/a(N)), поэтому сравниваем с Σ 1/n: lim a(n) умножить на n равно 1. Предел — положительное конечное число, значит, ряд ведёт себя так же, как обобщённый гармонический ряд Σ 1/n, который расходится, потому что p меньше или равно 1.

Шаги, часть 2. Абсолютно или условно?. Σ |a(n)| расходится (предельный признак сравнения с Σ 1/n), поэтому ряд сходится лишь условно. Оценить сумму численно. Частичные суммы S N вычислены для нескольких N и экстраполированы к N → ∞ (экстраполяция Ричардсона; для знакочередующихся членов сначала берётся среднее). Две независимые экстраполяции совпадают с точностью лучше 10 в степени минус 10 и дают S приблизительно минус 0.6931471806. Показанная замкнутая форма — численное отождествление, а не доказательство.

Ответ. Итак, ответ: Ряд сходится условно (признак Лейбница); сумма приблизительно минус 0.6931471806 (совпадает минус ln(2) с точностью до 10+ знаков). Ряд сходится, если его частичные суммы стремятся к конечному числу. Для этого члены ряда должны стремиться к 0, но одного этого недостаточно (гармонический ряд расходится), поэтому для ответа применяется признак сравнения, признак Д’Аламбера, радикальный признак Коши, признак Лейбница или интегральный признак.

Проверка. Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ равно минус 0.64563492, S₁₀₀ равно минус 0.68817218, S₁₀₀₀ равно минус 0.69264743, S₁₀₀₀₀ равно минус 0.69309718.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки