Последовательности и рядыАлгебраВуз≈ 1:37

Вычислите сумму 1/3ⁿ от n=1 до ∞

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Ряд сходится (геометрический ряд (|r| < 1)); сумма = 1/2.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.6 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
2. Пошагово
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
  Записываем ряд
2. $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{2}$
  Распознаём геометрический ряд
3. Ответ
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}} \ \text{сходится} = \frac{1}{2}$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 1/2
4. Проверка
- Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ = 0.49999153, S₁₀₀ = 0.5, S₁₀₀₀ = 0.5, S₁₀₀₀₀ = 0.5

Расшифровка

Задача. Вот задача: Вычислите сумму 1 делить на 3 в степени n от n равно 1 до бесконечность. Выясним, сходится или расходится Σ 1 делить на 3 в степени n (n от 1 до ∞).

Пошагово. Записываем ряд. Σ a(n) при n равно 1, 2, 3, … где a(n) равно 1 делить на 3 в степени n. Первые члены: 0.333333, 0.111111, 0.037037, 0.0123457, …. Распознаём геометрический ряд. Каждый член равен предыдущему, умноженному на r равно 1 делить на 3 (проверено для первых 40 членов), первый член a равно 1 делить на 3. Поскольку |r| меньше 1, ряд сходится, и его сумма равна a/(1 минус r) равно 1 делить на 2 приблизительно 0.5.

Ответ. Итак, ответ: Ряд сходится (геометрический ряд (|r| меньше 1)); сумма равно 1 делить на 2. Ряд сходится, если его частичные суммы стремятся к конечному числу. Для этого члены ряда должны стремиться к 0, но одного этого недостаточно (гармонический ряд расходится), поэтому для ответа применяется признак сравнения, признак Д’Аламбера, радикальный признак Коши, признак Лейбница или интегральный признак.

Проверка. Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ равно 0.49999153, S₁₀₀ равно 0.5, S₁₀₀₀ равно 0.5, S₁₀₀₀₀ равно 0.5.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки