Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Последовательности и рядыАлгебраВуз≈ 2:23

Вычислите сумму 1/n! от n=0 до бесконечности

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Ряд сходится (признак Даламбера); сумма ≈ 2.718281828 (совпадает e с точностью до 10+ знаков).

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.8 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ∑n=0∞1n!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
  2. 2. Пошагово
    1. ∑n=0∞1n!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
      Записываем ряд
    2. lim⁡n→∞1n!=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!} = 0
      Необходимый признак сходимости
    3. L=lim⁡n→∞1n+1=0L = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0
      Признак Д’Аламбера
    4. Оценить сумму численно
  3. 3. Ответ
    ∑n=0∞1n! сходится≈2.718281828\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \ \text{сходится} \approx 2.718281828

    ratio test ⇒ converges, S ≈ 2.718281828 (matches e to 10+ digits)

  4. 4. Проверка
    • Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ = 2.7182815, S₁₀₀ = 2.7182818, S₁₀₀₀ = 2.7182818, S₁₀₀₀₀ = 2.7182818

Расшифровка

Задача. Вот задача: Вычислите сумму 1/n! от n равно 0 до бесконечности. Выясним, сходится или расходится Σ 1 / n! (n от 0 до ∞).

Пошагово. Записываем ряд. Σ a(n) при n равно 0, 1, 2, … где a(n) равно 1 / n!. Первые члены: 1, 1, 0.5, 0.166667, …. Необходимый признак сходимости. lim a(n) равно 0, поэтому необходимый признак ничего не решает; члены ряда действительно убывают, так что нужен более тонкий признак. Признак Д’Аламбера. Положительные члены: a(n плюс 1)/a(n) упрощается до 1 / (n плюс 1), а его предел при n → ∞ равен L равно 0. L меньше 1, поэтому ряд сходится (абсолютно). Оценить сумму численно. Частичные суммы S N вычислены для нескольких N и экстраполированы к N → ∞ (экстраполяция Ричардсона; для знакочередующихся членов сначала берётся среднее). Две независимые экстраполяции совпадают с точностью лучше 10 в степени минус 10 и дают S приблизительно 2.718281828. Показанная замкнутая форма — численное отождествление, а не доказательство.

Ответ. Итак, ответ: Ряд сходится (признак Даламбера); сумма приблизительно 2.718281828 (совпадает e с точностью до 10+ знаков). Ряд сходится, если его частичные суммы стремятся к конечному числу. Для этого члены ряда должны стремиться к 0, но одного этого недостаточно (гармонический ряд расходится), поэтому для ответа применяется признак сравнения, признак Д’Аламбера, радикальный признак Коши, признак Лейбница или интегральный признак.

Проверка. Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ равно 2.7182815, S₁₀₀ равно 2.7182818, S₁₀₀₀ равно 2.7182818, S₁₀₀₀₀ равно 2.7182818.

Похожие уроки

Вычислите сумму 1/n! от n=0 до бесконечности — пошаговый видеоурок