Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Последовательности и рядыАлгебраВуз≈ 1:54

Вычислите сумму 1/4ⁿ от n=1 до ∞

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Ряд сходится (геометрический ряд (|r| < 1)); сумма = 1/3.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.6 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ∑n=1∞14n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{4}^{n}}
  2. 2. Пошагово
    1. ∑n=1∞14n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{4}^{n}}
      Записываем ряд
    2. S=a1−r=13S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{3}
      Распознаём геометрический ряд
  3. 3. Ответ
    ∑n=1∞14n сходится=13\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{4}^{n}} \ \text{сходится} = \frac{1}{3}

    geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 1/3

  4. 4. Проверка
    • Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ = 0.33333302, S₁₀₀ = 0.33333333, S₁₀₀₀ = 0.33333333, S₁₀₀₀₀ = 0.33333333

Расшифровка

Задача. Вот задача: Вычислите сумму 1 делить на 4 в степени n от n равно 1 до бесконечность. Выясним, сходится или расходится Σ 1 делить на 4 в степени n (n от 1 до ∞).

Пошагово. Записываем ряд. Σ a(n) при n равно 1, 2, 3, … где a(n) равно 1 делить на 4 в степени n. Первые члены: 0.25, 0.0625, 0.015625, 0.00390625, …. Распознаём геометрический ряд. Каждый член равен предыдущему, умноженному на r равно 1 делить на 4 (проверено для первых 40 членов), первый член a равно 1 делить на 4. Поскольку |r| меньше 1, ряд сходится, и его сумма равна a/(1 минус r) равно 1 делить на 3 приблизительно 0.3333333333.

Ответ. Итак, ответ: Ряд сходится (геометрический ряд (|r| меньше 1)); сумма равно 1 делить на 3. Ряд сходится, если его частичные суммы стремятся к конечному числу. Для этого члены ряда должны стремиться к 0, но одного этого недостаточно (гармонический ряд расходится), поэтому для ответа применяется признак сравнения, признак Д’Аламбера, радикальный признак Коши, признак Лейбница или интегральный признак.

Проверка. Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ равно 0.33333302, S₁₀₀ равно 0.33333333, S₁₀₀₀ равно 0.33333333, S₁₀₀₀₀ равно 0.33333333.

Похожие уроки

Вычислите сумму 1/4ⁿ от n=1 до ∞ — пошаговый видеоурок