Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Последовательности и рядыАлгебраВуз≈ 2:28

Вычислите сумму 1/(n(n+1)) от n=1 до ∞

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Ряд сходится (предельный признак сравнения с Σ 1/n^2); сумма ≈ 1 (совпадает 1 с точностью до 10+ знаков).

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.9 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)}
  2. 2. Пошагово
    1. ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)}
      Записываем ряд
    2. lim⁡n→∞1n(n+1)=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)} = 0
      Необходимый признак сходимости
    3. lim⁡n→∞an1/n2=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1
      Предельный признак сравнения с обобщённым гармоническим рядом
    4. Оценить сумму численно
  3. 3. Ответ
    ∑n=1∞1n(n+1) сходится≈1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)} \ \text{сходится} \approx 1

    limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 1 (matches 1 to 10+ digits)

  4. 4. Проверка
    • Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ = 0.90909091, S₁₀₀ = 0.99009901, S₁₀₀₀ = 0.999001, S₁₀₀₀₀ = 0.99990001

Расшифровка

Задача. Вот задача: Вычислите сумму 1/(n(n плюс 1)) от n равно 1 до бесконечность. Определим, сходится или расходится Σ 1 / (n(n плюс 1)) (n от 1 до ∞).

Пошагово. Записываем ряд. Σ a(n) для n равно 1, 2, 3, … с a(n) равно 1 / (n(n плюс 1)). Первые члены: 0.5, 0.166667, 0.0833333, 0.05, …. Необходимый признак сходимости. lim a(n) равно 0, поэтому необходимый признак ничего не решает; члены ряда действительно убывают, так что нужен более тонкий признак. Предельный признак сравнения с обобщённым гармоническим рядом. Положительные члены: члены ряда убывают примерно как 1/n в квадрате (оценка по a(2N)/a(N)), поэтому сравниваем с Σ 1/n в квадрате: lim a(n) умножить на n в квадрате равно 1. Предел — положительное конечное число, значит, ряд ведёт себя так же, как обобщённый гармонический ряд Σ 1/n в квадрате, который сходится, потому что p больше 1. Оценить сумму численно. Частичные суммы S N вычислены для нескольких N и экстраполированы к N → ∞ (экстраполяция Ричардсона; для знакочередующихся членов сначала берётся среднее). Две независимые экстраполяции совпадают с точностью лучше 10 в степени минус 10 и дают S приблизительно 1. Показанная замкнутая форма — численное отождествление, а не доказательство.

Ответ. Итак, ответ: Ряд сходится (предельный признак сравнения с Σ 1/n в квадрате); сумма приблизительно 1 (совпадает 1 с точностью до 10+ знаков). Ряд сходится, если его частичные суммы стремятся к конечному числу. Для этого члены ряда должны стремиться к 0, но одного этого недостаточно (гармонический ряд расходится), поэтому для ответа применяется признак сравнения, признак Д’Аламбера, радикальный признак Коши, признак Лейбница или интегральный признак.

Проверка. Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ равно 0.90909091, S₁₀₀ равно 0.99009901, S₁₀₀₀ равно 0.999001, S₁₀₀₀₀ равно 0.99990001.

Похожие уроки

Вычислите сумму 1/(n(n+1)) от n=1 до ∞ — пошаговый видеоурок