Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:13

Найдите lim x→0 x ln(x)

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 0.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.9 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→0xln⁡(x)\lim_{x \to 0} x \ln\left( x\right)
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→0xln⁡(x)=lim⁡x→0ln⁡(x)1x\lim_{x \to 0} x \ln\left( x\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x\right)}{\frac{1}{x}}
      Неопределённость 0·∞ — записываем в виде частного
    2. lim⁡x→0ln⁡(x)1x=lim⁡x→01x−1x2\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}
      Неопределённость ∞/∞ — применяем правило Лопиталя
    3. lim⁡x→01x−1x2=lim⁡x→0−x\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to 0} - x
      Сокращаем
    4. lim⁡x→0−x=−0=0\lim_{x \to 0} - x = -0 = 0
      Непосредственная подстановка
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→0xln⁡(x)=0\lim_{x \to 0} x \ln\left( x\right) = 0

    lim x→0 x ln(x) = 0

  4. 4. Проверка
    • Численные значения справа: f(0.01) = -0.046051702, f(0.001) = -0.0069077553, f(0.0001) = -0.00092103404, f(0.00001) = -0.00011512925 (нет четкой тенденции при данной точности)
    • Числовые значения слева: f(-0.01) = не определено, f(-0.001) = не определено, f(-0.0001) = не определено, f(-0.00001) = не определено (нет четкой тенденции при такой точности)

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 0 x ln(x). Найдём предел x ln(x) при x → 0.

Пошагово. Неопределённость 0 умножить на ∞ — записываем в виде частного. Перенося один множитель в знаменатель в виде обратной величины, превращаем 0 умножить на ∞ в 0 делить на 0 или ∞/∞. Неопределённость ∞/∞ — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем. Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 0, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 0. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа: f(0.01) равно минус 0.046051702, f(0.001) равно минус 0.0069077553, f(0.0001) равно минус 0.00092103404, f(0.00001) равно минус 0.00011512925 (нет четкой тенденции при данной точности). Числовые значения слева: f(минус 0.01) равно не определено, f(минус 0.001) равно не определено, f(минус 0.0001) равно не определено, f(минус 0.00001) равно не определено (нет четкой тенденции при такой точности).

Похожие уроки

Найдите lim x→0 x ln(x) — пошаговый видеоурок