ПределыМатематический анализВуз≈ 1:55

Предел (x²-1)/(x-1) при x→1

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 2.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.7 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\lim_{x \to 1} \frac{{x}^{2}-1}{x-1}$
2. Пошагово
1. $\lim_{x \to 1} \frac{{x}^{2}-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{2x}{1}$
  Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
2. $\lim_{x \to 1} \frac{2x}{1} = \lim_{x \to 1} 2x$
  Сокращаем
3. $\lim_{x \to 1} 2x = 2\cdot1 = 2$
  Непосредственная подстановка
3. Ответ
$\lim_{x \to 1} \frac{{x}^{2}-1}{x-1} = 2$
lim x→1 (x² - 1) / (x - 1) = 2
4. Проверка
- Численные значения справа совпадают: f(1.01) = 2.01, f(1.001) = 2.001, f(1.0001) = 2.0001, f(1.00001) = 2.00001 ✓
- Численные значения слева совпадают: f(0.99) = 1.99, f(0.999) = 1.999, f(0.9999) = 1.9999, f(0.99999) = 1.99999 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Предел (x в квадрате минус 1)/(x минус 1) при x- больше 1. Найдём предел (x в квадрате минус 1) / (x минус 1) при x → 1.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем. Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 1, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 2. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа совпадают: f(1.01) равно 2.01, f(1.001) равно 2.001, f(1.0001) равно 2.0001, f(1.00001) равно 2.00001, что верно. Численные значения слева совпадают: f(0.99) равно 1.99, f(0.999) равно 1.999, f(0.9999) равно 1.9999, f(0.99999) равно 1.99999, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки