Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:20

Найдите lim x→∞ (1+1/x)ˣ

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = e ≈ 2.718281828.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.8 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→∞(1+1x)x\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x}
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. lim⁡x→∞(1+1x)x=e lim⁡x→∞[xln⁡(1+1x)]\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x} = e^{\,\lim_{x \to \infty} \left[ x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}
      Неопределённость 1^∞ — логарифмируем
    2. lim⁡x→∞xln⁡(1+1x)=lim⁡x→∞ln⁡(1+1x)1x\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}
      Неопределённость 0·∞ — записываем в виде частного
    3. lim⁡x→∞ln⁡(1+1x)1x=lim⁡x→∞−1x21x+1−1x2\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{\frac{1}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    4. lim⁡x→∞−1x21x+1−1x2=lim⁡x→∞11x+1\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{\frac{1}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x}+1}
      Сокращаем
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. lim⁡x→∞11x+1=lim⁡t→01t+1=1\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x}+1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\mathrm{t}+1} = 1
      Подставляем x = 1/t (t → 0⁺)
    2. lim⁡x→∞(1+1x)x=e1=e\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x} = e^{1} = e
      Потенцируем результат
  4. 4. Ответ
    lim⁡x→∞(1+1x)x=e≈2.718281828\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x} = e \approx 2.718281828

    lim x→∞ (1 + 1 / x)^x = e ≈ 2.718281828

  5. 5. Проверка
    • Численные значения при возрастании x совпадают: f(127.18281) = 2.7076718, f(1271.8281) = 2.7172139, f(12718.281) = 2.718175, f(127182.81) = 2.7182711 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше бесконечность (1 плюс 1/x) в степени x. Найдём предел (1 плюс 1 / x) в степени x при x → ∞.

Шаги, часть 1. Неопределённость 1^∞ — логарифмируем. Запишем степень как e^(показатель умножить на ln основания); так как eᵘ непрерывна, предел равен e в степени предела показателя. Неопределённость 0 умножить на ∞ — записываем в виде частного. Перенося один множитель в знаменатель в виде обратной величины, превращаем 0 умножить на ∞ в 0 делить на 0 или ∞/∞. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем.

Шаги, часть 2. Подставляем x равно 1/t (t → 0 в степени плюс ). Потенцируем результат.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно e приблизительно 2.718281828. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения при возрастании x совпадают: f(127.18281) равно 2.7076718, f(1271.8281) равно 2.7172139, f(12718.281) равно 2.718175, f(127182.81) равно 2.7182711, что верно.

Похожие уроки

Найдите lim x→∞ (1+1/x)ˣ — пошаговый видеоурок