Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Неопределённые интегралыМатематический анализВуз≈ 0:53

Интегрируйте 1/(x²-1)

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: -(ln(abs(x + 1)) / 2) + ln(abs(x - 1)) / 2 + C.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.3 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ∫1x2−1 dx\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx
  2. 2. Пошагово
    1. ∫1x2−1 dx\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx
      Записываем интеграл
    2. ∫1x2−1 dx=−ln⁡(∣x+1∣)2+ln⁡(∣x−1∣)2\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx = -\frac{\ln\left(\left| x+1\right|\right)}{2}+\frac{\ln\left(\left| x-1\right|\right)}{2}
      Метод неопределённых коэффициентов: разложим 1/((x − r₁)(x − r₂)) на A/(x − r₁) + B/(x − r₂)
    3. ∫1x2−1 dx=−ln⁡(∣x+1∣)2+ln⁡(∣x−1∣)2+C\int \frac{1}{{x}^{2}-1}\,dx = -\frac{\ln\left(\left| x+1\right|\right)}{2}+\frac{\ln\left(\left| x-1\right|\right)}{2} + C
      Упрощаем и добавляем постоянную интегрирования
  3. 3. Ответ
    −ln⁡(∣x+1∣)2+ln⁡(∣x−1∣)2+C-\frac{\ln\left(\left| x+1\right|\right)}{2}+\frac{\ln\left(\left| x-1\right|\right)}{2} + C

    ∫ 1 / (x² - 1) dx = -(ln(abs(x + 1)) / 2) + ln(abs(x - 1)) / 2 + C

  4. 4. Проверка
    • Продифференцировали ответ и сравнили его с подынтегральной функцией в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Интегрируйте 1/(x в квадрате минус 1). Найдём неопределённый интеграл (первообразную) 1 / (x в квадрате минус 1) по x.

Пошагово. Записываем интеграл. Метод неопределённых коэффициентов: разложим 1/((x минус r₁)(x минус r₂)) на A/(x минус r₁) плюс B/(x минус r₂). Упрощаем и добавляем постоянную интегрирования.

Ответ. Итак, ответ: -(ln(abs(x плюс 1)) / 2) плюс ln(abs(x минус 1)) / 2 плюс C. Первообразная F удовлетворяет условию F штрих от x равно f(x). Поскольку производная любой константы равна 0, все первообразные отличаются на константу C.

Проверка. Продифференцировали ответ и сравнили его с подынтегральной функцией в 8 контрольных точках, что верно.

Похожие уроки

Интегрируйте 1/(x²-1) — пошаговый видеоурок