Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Неопределённые интегралыМатематический анализВуз≈ 0:56

Интегрируйте (ln x)/x

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: ln(x)²/2 + C.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.3 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ∫ln⁡(x)x dx\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. ∫ln⁡(x)x dx\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx
      Записываем интеграл
    2. ∫ln⁡(x)x dx=∫u1 du\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx = \int {u}^{1}\,du
      Подставим u = ln(x), тогда du = (1 / x) dx
    3. ∫u1 du=u22\int {u}^{1}\,du = \frac{{u}^{2}}{2}
      Интеграл степени: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
    4. ∫ln⁡(x)x dx=ln⁡(x)22\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx = \frac{{\ln\left( x\right)}^{2}}{2}
      Вернёмся к исходной переменной u = ln(x)
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. ∫ln⁡(x)x dx=ln⁡(x)22+C\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx = \frac{{\ln\left( x\right)}^{2}}{2} + C
      Упрощаем и добавляем постоянную интегрирования
  4. 4. Ответ
    ln⁡(x)22+C\frac{{\ln\left( x\right)}^{2}}{2} + C

    ∫ (ln(x)) / x dx = ln(x)²/2 + C

  5. 5. Проверка
    • Продифференцировали ответ и сравнили его с подынтегральной функцией в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Интегрируйте (ln x)/x. Найдём неопределённый интеграл (первообразную) от (ln(x)) / x по x.

Шаги, часть 1. Записываем интеграл. Подставим u равно ln(x), тогда du равно (1 / x) dx. Интеграл степени: интеграл от x в степени n dx равно x в степени n плюс 1/(n плюс 1). Вернёмся к исходной переменной u равно ln(x).

Шаги, часть 2. Упрощаем и добавляем постоянную интегрирования.

Ответ. Итак, ответ: ln(x) в квадрате/2 плюс C. Первообразная F удовлетворяет условию F штрих от x равно f(x). Поскольку производная любой константы равна 0, все первообразные отличаются на константу C.

Проверка. Продифференцировали ответ и сравнили его с подынтегральной функцией в 8 контрольных точках, что верно.

Похожие уроки

Интегрируйте (ln x)/x — пошаговый видеоурок