Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Уравнения высших степенейАлгебраСтаршая школа≈ 1:57

Решите x⁵ - x = 0

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: x = -1, x = 0, x = 1; комплексный: ±i.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.8 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    x5−x=0{ x}^{5}- x = 0
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. x5−x=0{ x}^{5}- x = 0
      Записываем исходное уравнение
    2. x5−x=0x^{5} - x = 0
      Переносим все члены в одну часть
    3. x4−1=0x^{4} - 1 = 0
      Проверяем кандидатов по теореме о рациональных корнях: x = 0 — корень
    4. x3−x2+x−1=0x^{3} - x^{2} + x - 1 = 0
      Проверяем кандидатов по теореме о рациональных корнях: x = -1 — корень
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. x2+1=0x^{2} + 1 = 0
      Проверяем кандидатов по теореме о рациональных корнях: x = 1 — корень
    2. x2+1=0x^{2} + 1 = 0
      Решите оставшееся квадратное уравнение
    3. Δ=b2−4ac=02−4⋅1⋅1=−4\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4
      Вычисляем дискриминант
    4. Δ < 0, поэтому действительных корней нет; два корня комплексно сопряжённые
  4. 4. Шаги, часть 3
    1. x=0±−42=0±2 i2x = \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{0 \pm 2\,i}{2}
      Применяем формулу корней квадратного уравнения при √(−1) = i
    2. x=±ix = \pm i
      Сокращаем
    3. x=−1,x=0,x=1x = -1,\quad x = 0,\quad x = 1
      Выписываем действительные решения
  5. 5. На графике
    -4-3-2-11234-60-40-20204060x = -1x = 0x = 1
    Каждое решение — это точка, где график пересекает ноль.
  6. 6. Ответ
    x=−1, x=0, x=1x = -1,\ x = 0,\ x = 1

    x = -1, x = 0, x = 1

  7. 7. Проверка
    • x = -1: левая часть = 0, правая часть = 0 ✓
    • x = 0: левая часть = 0, правая часть = 0 ✓
    • x = 1: левая часть = 0, правая часть = 0 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: x в степени 5 минус x равно 0. Уравнение 5-й степени относительно x.

Шаги, часть 1. Записываем исходное уравнение. Переносим все члены в одну часть. Проверяем кандидатов по теореме о рациональных корнях: x равно 0 — корень. Деление по схеме Горнера на (x минус 0) даёт многочлен степени 4. Проверяем кандидатов по теореме о рациональных корнях: x равно минус 1 — корень. Деление по схеме Горнера на (x плюс 1) даёт многочлен степени 3.

Шаги, часть 2. Проверяем кандидатов по теореме о рациональных корнях: x равно 1 — корень. Деление по схеме Горнера на (x минус 1) даёт многочлен степени 2. Решите оставшееся квадратное уравнение. Вычисляем дискриминант. дельта меньше 0, поэтому действительных корней нет; два корня комплексно сопряжённые.

Шаги, часть 3. Применяем формулу корней квадратного уравнения при квадратный корень из минус 1 равно i. Сокращаем. Выписываем действительные решения.

На графике. Теперь посмотрите на график левой части минус правой части. Он пересекает ноль ровно в найденных решениях.

Ответ. Итак, ответ: x равно минус 1, x равно 0, x равно 1; комплексный: плюс-минус i. Многочлен 5-й степени имеет ровно 5 корней с учетом кратности (некоторые могут быть комплексными). Сначала находятся точные рациональные корни, затем остальные решаются точно или аппроксимируются.

Проверка. x равно минус 1: левая часть равно 0, правая часть равно 0, что верно. x равно 0: левая часть равно 0, правая часть равно 0, что верно. x равно 1: левая часть равно 0, правая часть равно 0, что верно.

Похожие уроки

Решите x⁵ - x = 0 — пошаговый видеоурок