Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Невизначені інтегралиМатематичний аналізУніверситет≈ 1:13

Первісна sin(x)³

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: cos(x)³/3 - cos(x) + C.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.5 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∫sin⁡(x)3 dx\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. ∫sin⁡(x)3 dx\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx
      Записуємо інтеграл
    2. sin3(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)0+−1sin⁡(x)cos⁡(x)2sin^{3}( x) = 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}+-1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{2}
      Непарний степінь: запишемо sin^3 u = sin u · (1 − cos² u)^1, потім підставимо u = cos
    3. ∫1sin⁡(x)cos⁡(x)0 dx=−1∫u0 du\int 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}\,dx = -1\int {u}^{0}\,du
      Підставимо u = cos(x), тоді du = (-sin(x)) dx
    4. ∫u0 du=u\int {u}^{0}\,du = u
      Інтеграл степеня: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. ∫1sin⁡(x)cos⁡(x)0 dx=−cos⁡(x)\int 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}\,dx = -\cos\left( x\right)
      Виконаємо зворотну підстановку u = cos(x)
    2. ∫−1sin⁡(x)cos⁡(x)2 dx=∫u2 du\int -1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{2}\,dx = \int {u}^{2}\,du
      Підставимо u = cos(x), тоді du = (-sin(x)) dx
    3. ∫sin⁡(x)3 dx=cos⁡(x)33−cos⁡(x)\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx = \frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right)
      Інтегруємо почленно
    4. ∫sin⁡(x)3 dx=cos⁡(x)33−cos⁡(x)+C\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx = \frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right) + C
      Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування
  4. 4. Відповідь
    cos⁡(x)33−cos⁡(x)+C\frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right) + C

    ∫ sin(x)³ dx = cos(x)³/3 - cos(x) + C

  5. 5. Перевірка
    • Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Первісна sin(x) у кубі. Знайдемо невизначений інтеграл (первісну) sin(x) у кубі за x.

Кроки, частина 1. Записуємо інтеграл. Непарний степінь: запишемо sin у кубі u дорівнює sin u помножити на (1 мінус cos у квадраті u) у степені 1, потім підставимо u дорівнює cos. Підставимо u дорівнює cos(x), тоді du дорівнює (мінус sin(x)) dx. Інтеграл степеня: інтеграл від x у степені n dx дорівнює x у степені n плюс 1/(n плюс 1).

Кроки, частина 2. Виконаємо зворотну підстановку u дорівнює cos(x). Підставимо u дорівнює cos(x), тоді du дорівнює (мінус sin(x)) dx. Інтегруємо почленно. Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування.

Відповідь. Отже, відповідь: cos(x) у кубі/3 мінус cos(x) плюс C. Первісна F задовольняє умову F штрих від x дорівнює f(x). Оскільки похідна будь-якої сталої дорівнює 0, усі первісні відрізняються на сталу C.

Перевірка. Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках, що правильно.

Схожі уроки

Первісна sin(x)³ — покроковий відеоурок